????x′＝3x，?1??解析：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到?1由于点A的坐标为?3，－2?，
?2y′＝y，??y′＝y.
?
2
11
于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，
32
所以A′的坐标为(1，－1)． 答案：(1，－1) 2．将圆a，b的值．
x2＋y2＝1
??X＝ax（a>0），x2y2
变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：?求
94?Y＝by（b>0），?
x′＝3x，
?x＝aX，??X＝ax，XY
解：由?得?代入x＋y＝1中得＋＝1，所以a＝9，b＝4，
ab1?Y＝by?
?y＝bY，
2
2
2
22
2
2
2
1
因为a>0，b>0，所以a＝3，b＝2.
极坐标与直角坐标的互化(师生共研)
(1)已知直线l的极坐标方程为
π7π
θ－?＝2，点A的极坐标为A?22，?，求点A到直线l的距离． 2ρsin?4??4??
(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．
π22
θ－?＝2，得2ρ?sin θ－cos θ?＝2，所以y－x＝1. 【解】 (1)由2ρsin??4?2?2?7π|2＋2＋1|5222，?得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝由点A的极坐标为?＝. 4??2252
即点A到直线l的距离为.
2
?x＝ρcos θ，?(2)将?代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
??y＝ρsin θ
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已ππ
2，?，直线的极坐标方程为ρcos?θ－?＝a，且点A在直线上，求a知点A的极坐标为?4???4?的值及直线的直角坐标方程．
ππππ
θ－?＝a上，所以a＝2cos?－?＝2， 解：因为点A(2，)在直线ρcos??4??44?4所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
π2
θ－?＝(ρ≥0，2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin?0≤θ<2π)． ?4?2(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0， π2
θ－?＝， 直线l：ρsin??4?2即ρsin θ－ρcos θ＝1，
故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0. (2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
22???x＋y－x－y＝0，?x＝0，?将两方程联立得解得? ?x－y＋1＝0，?y＝1，??
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)， π
1，?即为所求． 将(0，1)转化为极坐标为??2?
求曲线的极坐标方程(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O
为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
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