π
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
3
(2)当点M在C上运动且点P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． ππ
【解】 (1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝23.
33π
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
3
设Q(ρ，θ)为l上除点P外的任意一点．连接OQ， π
θ－?＝|OP|＝2. 在Rt△OPQ中，ρcos??3?ππ
2，?在曲线ρcos?θ－?＝2上． 经检验，点P??3??3?π
θ－?＝2. 所以，l的极坐标方程为ρcos??3?
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P在线段OM上，且AP⊥OM， ππ?故θ的取值范围是??4，2?.
ππ?所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈??4，2?.
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
1．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，交圆C于点N.
求ON的中点M的轨迹的极坐标方程． 解：设M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．
因为N点在圆ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ1.①
??ρ1＝2ρ，
因为M是ON的中点，所以?
?θ1＝θ，?
代入①式得2ρ＝8cos θ，
故点M的轨迹的极坐标方程是ρ＝4cos θ.
2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极π
θ－?＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． 坐标方程为ρcos ??3?(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． π
θ－?＝1得 解：(1)由ρcos??3?13
ρ?cos θ＋sin θ?＝1.
2?2?
13
从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，
22即x＋3y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．
π23当θ＝时，ρ＝，
23所以N?
23π?
.
?3，2?
23?
(2)由(1)知，M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为?0，.
3??所以P点的直角坐标为?1，
?
3?， 3?则P点的极坐标为?
23π?.
?3，6?π
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
6
曲线极坐标方程的应用(师生共研)
(2020·福州四校联考)在平面直角坐标
??x＝2＋cos α，
系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x.以坐
?y＝2＋sin α?
标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
11
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
|OA||OB|
??x＝2＋cos α，
【解】 (1)由曲线C1的参数方程为?(α为参数)，得曲线C1的普通方程为
?y＝2＋sin α?
(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
ππ
由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)(tan θ＝3)．
33ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，??
(2)由?π得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别
??θ＝3为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，
|OA|＋|OB|ρ1＋ρ223＋211所以＋＝＝＝.
|OA||OB||OA|·|OB|ρ1ρ27
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
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