中考二次函数综合压轴题型归类
一、常考点汇总
2
2
1、两点间的距离公式
： ABy A yB x A xB
2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：
xA xB yA y B
，
2 2
（ 2）两直线相交k1 k2
直线 y
k1 x b1 （ k1 0 ）与 y k 2 x b2 （ k2 0 ）的位置关系：
（ 1）两直线平行k1
k2 且 b1 b2
k1 k2 且 b1 b2
，解题步骤如下：
（ 3）两直线重合
（ 4）两直线垂直k1k21
3、一元二次方程有整数根问题
① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；
② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于 x 的一元二次方程
x 2－2 m 1 x m2＝0 有两个整数根， m＜5 且 m 为整数，求 m 的值。
4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题
例：若抛物线
y
x
。（方法同上）
x
m
mx
2
m
此抛物线的解析式。
3
1
3 与 轴交于两个不同的整数点，且
为正整数，试确定
5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：
已知关于 x 的方程 mx2
有一个固定的根。
解：当 m
当 m
3(m 1)x 2m
3 0（ m 为实数），求证：无论
m 为何值，方程总
0 时， x 0 时，
1；
m 3 2
0 ， x 3 m 1
， x1 2
3
、 x2 1 ；
2m m
1。
综上所述：无论 6、函数过固定点问题
已知抛物线 y
m 为何值，方程总有一个固定的根是
，举例如下：
x2
mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个
固定的点，并求出固定点的坐标。
1
解：把原解析式变形为关于
m 的方程 y
y x
1
x 2 2 m 1
；
x ；
∴
y x 2
2 0 0
，解得：
1 x
1
∴ 抛物线总经过一个固定的点（ 1，－ 1）。 （题目要求等价于：关于 ．． 小结 ：关于
m 的方程 y x 2
b 有无数解
b
2 m 1 x 不论 m 为何值，方程恒成立） a 0
0
x
的方程 ax
7、路径最值问题 （待定的点所在的直线就是对称轴）
（ 1）如图，直线 l1 、 l 2 ，点 A 在 l 2 上，分别在 l1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得 AM MN 之和最小。
（ 2）如图，直线
l 1 、 l 2 相交，两个固定点 A 、 B ，分别在 l 1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得
BM MN AN 之和最小。
（ 3）如图， A、 B 是直线 l 同旁的两个定点， 线段 a ，在直线 l 上确定两点 E 、 F （ E 在 F 的左侧 ），使得四边形 AEFB 的周长最小。
2
8、在平面直角坐标系中求面积的方法： 三角形的面积求解常用方法：如右图，
直接用公式、割补法
S
△ PAB=1/2
· PM·△ x=1/2 · AN·△ y
9、函数的交点问题： 二次函数（
y＝ax2＋bx＋ c ）与一次函数（ y＝ kx＋ h ）
（1）解方程组
y＝ ax
y＝ kx＋ h y＝ ax
y＝ kx＋ h
22
＋bx＋c
可求出两个图象交点的坐标。
（2）解方程组
＋bx＋c ，即 ax2＋ b－k x＋c－h＝0 ，
通过 可判断两个图象的交点的个数
有两个交点 仅有一个交点 没有交点
＞0 0 ＜0
10、方程法
（ 1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度
（ 2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （ 3）列方程或关系式 11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求 跟平行有关的 图形
几何分析
平移
涉及公式
应用图形
l 1 ∥ l 2
k1＝k2
、 k
y1 y2
平行四边形
矩形 梯形
直角三角形
x1 x2
勾股定理逆定理
跟直角有关的
利用相似、全等、平
2
2
图形
行、对顶角、互余、互补等
利用几何中的全等、
AB y A yB x A xB
直角梯形 矩形
跟线段有关的
等腰三角形
2
2
图形
跟角有关的图 形
中垂线的性质等。 利用相似、全等、平
行、对顶角、互余、
AB y A yB x A xB
全等 等腰梯形
互补等
3
【例题精讲】
一 基础构图：
y= x2
2 x 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和 最小，差最大
在对称轴上找一点 P，使得 PB+PC 的和最小，求出 P 点坐标 在对称轴上找一点
P，使得 PB-PC 的差最大，求出
P 点坐标
★求面积最大
连接 AC, 在第四象限找一点 P，使得
ACP 面积最大，求出 P 坐标
★ 讨论直角三角
连接 AC, 在对称轴上找一点 P，使得
ACP 为直角三角形，
求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P，使△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形．
★ 讨论等腰三角
连接 AC, 在对称轴上找一点 P，使得
ACP 为等腰三角形，
求出 P坐标
★ 讨论平行四边形
1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，
且以 B， A， F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标
4
y
B O A x
C
D
y
B O A x
C
D y
B OA x
C
D
y
B OA x
C
D
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