A． 24是4的倍数。 B． 4和6都是24的约数。 C．4是24的因数。
【问题提出】A2—31 “单数”、“双数”与“奇数”、“偶数”有什么区别和联系？ 【释问参考】
偶数、双数：能被2整除的整数叫做偶数。偶数有正偶数、负偶数和零。正偶数也叫双数。双数就是能被2整除的正整数。0不是双数；0是偶数，但不是最小的偶数。
奇数、单数：不能被2整除的整数叫做奇数。正奇数也叫单数。单数就是不能被2整除的正整数。 【思考练习】 A．奇数 B.偶数
⑴两个奇数的和或差都是（ B ）。 ⑵两个偶数的和或差都是（ B ）。
⑶一个奇数与一个偶数的和或差都是（ A ）。 ⑷两个奇数的积是（ A ）。
⑸一个奇数与一个偶数的积或者两个偶数的积都是（ B ）。
【问题提出】A2—32 “最小的质数”、“最小的偶数”与“最小的倍数”各指什么？为什么“0是任何一个整数的倍数”，但不是几个整数的最小公倍数？ 【释问参考】
最小的质数（偶质数或偶素数）：质数中最小的一个叫“最小的质数”。最小的质数是2。它是唯一能被2整除的质数，所以又叫“偶质数”。
小学数学中定义倍数时，还没有引入负数的概念。所以，在a的倍数中最小的是0。但0不能作为几个分数的公分母，所以这样的“最小公倍数”在异分母分数的加减法中毫无用处。因此，在“倍数”、“公倍数”与“最小公倍数”的定义中，应该在适当的地方把0排除。
方案一：在定义“倍数”时，就将0排除：在a的倍数中，最小的一个是a。
方案二：在定义“公倍数”时将0排除。“自然数a与任何一个自然数的乘积都叫做a的倍数。”因此，在a的倍数中最小的0。“几个数除0以外的公共的倍数叫做这几个数的公倍数。”“几个数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。”
方案三：定义“最小公倍数”时才排除0。 以上三个方案中，似乎方案二更便于小学生理解。
经过这样的规定，就使得0虽然是任何一个整数的倍数，但不是几个整数的最小公倍数。 【思考练习】
最小的质数是（ B ）。 A．1 B．2 C．3
【问题提出】A2—33 为什么说“偶数都是合数、“质数都是奇数”是错误的？ 【释问参考】
在整数中，奇、偶数是以它能否被2整除来定义的。质数、合数是以一个自然数因数的个数来区分的。可见，这两个概念的定义不同。奇数不一定是质数，如9、21、33都不是质数；质数也不一定是奇数。偶数不一定是合数，如2是偶数但不是合数，而是质数；合数也不一定是偶数。 【思考练习】
下面哪一个数是质数？（ B ）。 A．1 B．2 C．51
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【问题提出】A2—34 为什么“1既不是质数，也不是合数”？ 【释问参考】
人们在研究正整数的分类时，按它的正约数个数的多少分成以下三类：（1）1：它只有一个正约数；（2）质数：除了1和它自身两个正约数外，没有其他的正约数；（3）合数：除了1和它自身外，还有其他的正约数。
如果将1视为质数，那么在把合数分解为质因数的积时会带来混乱。如将18分解质因数，结果可以是下面的任一种：18=2×3×3, 18=1×2×3×3,18=1×1×2×3×3??
如将1视为合数，那么在把这个合数分解质因数时，可以一直“分解”下去，永远“把这个数表示为更小的正因数相乘的积”的目的。
因此，规定：1既不是质数，也不是合数。 【思考练习】
正整数按因数的个数的多少可以分成（ B ）。 A．两类：质数和合数 B．三类：1、质数和合数 C．四类：0、1、质数和合数
【问题提出】A2—35 怎样判定一个数是不是质数？怎样把一个合数分解质因数？ 【释问参考】
质数：一个大于1的整数，如果除了1和本身外，不能被其他正整数整除，这个数就称为“质数（素数）”。 质数的判定：
（1）试除法。如47是不是质数？可根据质数的定义，看它是不是除了1和47外，不再有其他的约数。为此，可分别用质数2、3、5、7，??去试除47。 （2）查质数表。
质因数（质约数或素因数）：每个合数都可写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的“质因数”。
分解质因数的方法：短除法。 【思考练习】
（ C ）用“筛法”制定了最早的质数表。 A．莱茉 B．查基尔 C．爱拉托斯散
【问题提出】A2—36 怎样证明“质数没有最大的”？ 【释问参考】
证明“质数没有最大的”（即“质数的序列是无限的”）可依据“对于任意给定的一个质数，总还有比它更大的质数”的思路。
设p是任意给定的一个质数。用不大于p的所有质数2,3,??，p构造另一个数：2×3×??×p＋1，则此数必大于p。如果它是质数，则表明存在大于p的质数；如果它是合数，则必有质因数p。由于p不可能是2,3,??，p，因此只能是大于p的质数，所以也证明了大于p的质数的存在。 这就是说，如果p是一个质数，那么总还有比它更大的质数。 【思考练习】
关于质数，下面哪一种说法是正确的？（ B ） A．质数的序列是有限的 。 B．没有最大的质数。 C．无法证明“质数没有最大的”。
【问题提出】A2—37 “质数”、“质因数”与“互质数”、“互质”有什么不同？说“8和9是互质数”或者“8和9都是质数”对吗？
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，
，
【释问参考】
质数：是大于1的自然数，它只有1和它本身两个约数。
质因数：是针对某个合数而言。如果合数的某个因数是质数，则称之为这个合数的质因数。
互质数：是针对两个自然数而言。如果两个自然数的公约数只有1,则称这两个数“互质”，或称它们是“互质数”。 例如：“8和9互质”或“8和9是互质数”。但不能说“8和9都是质数”。 【思考练习】
下面哪一种说法完全正确？（ C ）
A．5和9是互质数，5和9都是质数 。
B．因为43=1×43，所以1和43都是43的质因数。 C．2和5是互质数，2和5都是质数。
【问题提出】A2—38 质数有没有质因数？质数能不能分解质因数？ 【释问参考】
小学数学教材中对“质因数”这个概念没有下定义，是通过例子描述的：6=2×3,28=2×2×7,60=2×2×3×5??从这些例子可以看出，每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
学了这段教材，学生易断定“合数有质因数”。但质数有没有质因数呢？根据质因数的定义：“如果一个整数的约数是质数，就称这个约数为该整数的一个质因数”。如3有约数3，因此可以说3是“3”的一个质因数。可见，每个质数都有它自身的质因数。
但“把一个质数写成质数乘积的形式”，就是这个质数本身。因此，小学阶段不必讨论“质数能不能分解质因数”的问题。教学这部分知识时，要防止产生“质数没有质因数”的误解。 【思考练习】
下面哪一种说法是错误的？（ B ） A．合数有质因数 。 B．质数是没有质因数的。
C．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
【问题提出】A2—39 怎样求两个数的最大公约数和最小公倍数？ 【释问参考】
最大公约数：在几个自然数所有的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数。a和b的最大公约数记作（a，b）。
求最大公约数的方法：（1）分解质因数法。把每个数分别分解质因数，它们的所有公有的质因数相乘的积，就是这几个数的最大公约数。比如，求72和84的最大公约数：72=2×2×2×3×3,84=2×2×3×7，它们公有的质因数有2、2、3，所以（72,84）=12。 （2）短除法。 （3）辗转相除法（又叫“欧几里得算法”）。先用较小的数去除较大的数，写出所得的商和余数（第一个余数）；再用第一个余数去除除数，写出商和余数（第二个余数）；用第二个余数去除第一个余数，写出商和第三个余数；??这样继续下去，直到余数为0为止。最后一个除数（也就是不等于0的最后一个余数）就是原来两个数的最大公约数。这种方法在求两个较大的自然数的最大公约数时常常用到。 （4）口算法。①如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1。②在两个数中，如果较小的数是较大数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。
最小公倍数：在几个自然数所有的公倍数中，0以外最小的一个，叫做它们的最小公倍数。a和b的最小公倍数记作〔a，b〕。
求最小公倍数的方法：（1）分解质因数法。（2）短除法。（3）口算法。（4）翻倍法。把两个数中较大的数扩大到原数的2倍，如果所得的数是另一个数的倍数，那么它就是这两个数的最小公倍数；如果不是，再把它扩大到原数的3倍、4倍??直到求出最小公倍数为止。 【思考练习】
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求最大公约数的方法中，（ C ）又叫“欧几里得算法”。 A．分解质因数法 。 B．短除法。 C．辗转相除法。
【问题提出】A2—40 为什么两个数的所有公有的质因数的积就是这两个数的最大公约数？ 【释问参考】
可以这样理解：如果我们知道了一个数的所有的质因数，那么其中每一个质因数、每两个质因数的积、每三个质因数的积??都是这个数的约数。最大的约数就是这个数的所有的质因数的积，即这个数本身。同样，我们可以根据两个数公有的质因数推算出“这两个数所有的公约数”：它们的每一个公有的质因数、每两个公有的质因数的积、每三个公有的质因数的积??都是这两个数的公约数。其中最大的公约数当然是这两个数的所有的公有的质因数的积。 【思考练习】
24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,所以可推出（24,60）=（ C ）。 A．4 B．8 C．12
【问题提出】A2—41 “运算性质”、“运算定律”和“运算法则”有什么区别和联系？ 【释问参考】
运算性质：定义在某个集合上的运算所具有的性质，叫做这种运算的“运算性质”。运算性质是人们对大量的计算实践经验所作的理论概括。如：减法的运算性质。
运算定律：基本的、能推导出其它运算性质的那些运算性质叫做“运算定律”。如：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
运算法则：完成运算、得出结果的方法、程序或途径通常叫做“运算法则”，实质上也就是“运算方法”。如笔算“一位数乘多位数”的法则是：从个位起用一位数依次去乘多位数各位上的数；乘到哪一位，积的末尾就和哪一位对齐；哪一位乘得的积满几十，就向前一位进几。 运算法则的理论依据叫做算理。
第三节 量与计量
【问题提出】A3—1 “量”和“数”有什么区别和联系？ 【释问参考】
【量】【计量】“量”也是数学中的一个基本概念。量（liàng）的主要特征就在于它可以量（liǎng）。也就是取一个同类量做标准时，可以比较出大小来。这种把要测定的量和一个作为标准的同类量进行比较的过程叫做“计量”。计量时用来作为标准的同类量叫做“计量单位”。
如长短、轻重、快慢等都是量，这些量就是通常所说的长度、重量和速度。 【量数】作为计量的结果得到的数叫做“量数”。 【计量单位】用来作为计量标准的量叫做“计量单位”。
【主单位】【辅助单位】【倍数单位】【分数单位】在实际计量中，由于计量的需要，每一类量都有大小不同的计量单位，其中一个为主的单位叫做“主单位”（或叫“基本单位”）。其他的单位是主单位的若干倍或若干分之一，叫做“辅助单位”（包括“倍数单位”和“分数单位”）。
例如：计量长度的主单位是“米”。比米大的单位有十米、百米、千米等，它们都是米的倍数单位。比米小的单位有分米、厘米、毫米等，它们都是米的分数单位。
有了计量单位，我们就可以通过某个量的计量，得到一个数，它表示被量的量是计量单位的多少倍。用这个数联同计量单位来表示这个量的大小。用数的运算以及计量单位的变换，进行量的运算。 【思考练习】
以下说法，不正确的是（ B ）。
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