初三升高一数学衔接资料3

初三升高一数学衔接资料(3)

一元二次方程及韦达定理

1. 求根公式：对于一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?用配方法可变形为：

2b?b2?4ac? ?x?， 因右边大于0.所以 ??22a?4a?（1） 当??b?4ac?0时，方程有根x1?222?b???b??,x2? 2a2a（2） 当??b?4ac?0，方程有根x1?x2??（3） 当??b?4ac?0，方程没有实数根。 例1.

不解方程，判断下列方程根的情况：

222b 2a （1）x?x?1?0 （2）?5x?6x?2

2 （3）2x?5x?3?0 （4）3?22x?21?2x?1?0

??2??

例2.k为何值时，关于x的方程2x??4k?1?x?2k?1?0

22（1） 有两个不相等的实根； （2） 有两个相等的实根； （3） 没有实根。

2. 韦达定理

由求根公式得：x1?x2??2?bc，x1?x2? ,x1x2?（即为韦达定理）

aaa特别地，如果方程为x?px?q?0，且方程的二根为x1,x2， 则x1?x2??p,x1x2?q

同时，以x1,x2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2??x1?x2?x?x1x2?0

例2. 求下列方程的两根和与两根积

22 （1）3x?5x?7?0 （2）x?x?1?0 （3）? 例3. 例4.

设方程2x?4x?1?0的两根为x1,x2，求（1）x1?x2；（2）

22212x?3x?1?0 （4）2?5?1x2?2x???5?1?0

?已知关于x的方程18x?9x?a?0的一根时?211，求另一根及a的值。 611? x1x2 （3）x1?x2 例5.

练习：1 m取何值时，多项式x??2m?2?x?m?5?0是一个完全平方式；

22求一个一元二次方程，使它的两个根为3?2,3?2

2. a取何值时，关于x的方程3ax?23?a?1?x?a?0

2 （1）只有一个实数根；（2）两个相等的实数根；（3）没有实数根。 3．设x1,x2是方程2x?6x?3?0的两个根，不解方程，求下列各式的值。 （1）?x1?3??x2?3? （2）

21133x?x? （3）12 22x1x2