火线100天（四川专版）中考数学专题复习八二次函数与几何综合

二次函数与几何综合 二次函数与几何综合是四川中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．

(2015·自贡)如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.

2

(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式； (2)利用抛物线的轴对称性，BC与对称轴的交点即为M，继而求出其坐标；

(3)设P(－1，t)，用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t的值．

【解答】 (1)依题意，得 b

a＝－1，－＝－1，???2a?

?a＋b＋c＝0，解得?b＝－2，

??c＝3.??c＝3，

∴抛物线解析式为y＝－x－2x＋3.

∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)， ∴B(－3，0)．

∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得

???－3m＋n＝0，?m＝1，

?解得? ?n＝3，?n＝3.??

1

2

∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3.

(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.

∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为(－1，2)． (3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，

∴BC＝18，PB＝(－1＋3)＋t＝4＋t，PC＝(－1)＋(t－3)＝t－6t＋10. ①若点B为直角顶点，则BC＋PB＝PC，即18＋4＋t＝t－6t＋10，解得t＝－2； ②若点C为直角顶点，则BC＋PC＝PB，即18＋t－6t＋10＝4＋t，解得t＝4； ③若点P为直角顶点，则PB＋PC＝BC，即4＋t＋t－6t＋10＝18； 3＋173－17

解得t1＝，t2＝. 22

综上所述，P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，

2

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3＋173－17

)或(－1，)． 22

(2015·攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】 (1)把A(－1，0)、B(3，0)两点的坐标代入y＝－x＋bx＋c即可求出b和c的值，进而求出抛物线的解析式；

(2)设D(t，－t＋2t＋3)，作DH⊥x轴，则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC，进而得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，确定D点坐标与S△BCD的最大值；

(3)因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意．

???－1－b＋c＝0，?b＝2，

【解答】 (1)由?解得?

?－9＋3b＋c＝0，?c＝3.??

2

2

∴抛物线解析式为：y＝－x＋2x＋3.

2

2

(2)设D(t，－t＋2t＋3)，作DH⊥x轴． 令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)． 则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC

11122

＝(－t＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t＋2t＋3)－×3×3

222329 ＝－t＋t. 223

∵－＜0，

2

331527

∴当t＝－＝时，即D(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为. 32248

2×（－）

2(3)∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一， ∵直线BC为y＝－x＋3，

∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.

?y＝－x＋5，?由?解得Q1(2，3)； 2

?y＝－x＋2x＋3，?

2

9

2

∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3， ∴M(1，2)．

设PM与x轴交于E点，∵PM＝EM＝2， ∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.

从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．

??y＝－x＋1，3＋171＋173－171－17由?解得Q(，－)，Q(，－)． 232

2222?y＝－x＋2x＋3，?

3＋171＋173－171－17

∴满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2(，－)，Q3(，－)．

2222

(2013·绵阳)如图，二次函数y＝ax＋bx＋c的图象的顶点C的坐标为(0，－2)，交x轴于A、B两点，其中A(－1，0)，直线l：x＝m(m＞1)与x轴交于D. (1)求二次函数的解析式和B的坐标；

2

3

(2)在直线l上找点P(P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；

(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】 (1)∵抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点坐标为C(0，－2)， ∴b＝0，c＝－2.

∵y＝ax＋bx＋c过点A(－1，0)， ∴0＝a＋0－2，a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2x－2. 当y＝0时，2x－2＝0，解得x＝±1， ∴点B的坐标为(1，0)． (2)连接BC.设P(m，n)． ∵∠PDB＝∠BOC＝90°，

∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况： OBOC12m－1

①若△OCB∽△DBP，则＝，即＝，解得n＝.

DPDBnm－12m－1

∴此时点P坐标为(m，)；

2

OBOC12

②若△OCB∽△DPB，则＝，即＝，解得n＝2m－2.

DBDPm－1n∴此时点P坐标为(m，2m－2)．

m－1

综上所述，满足条件的点P的坐标为(m，)或(m，2m－2)．

2

(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x，2x－2)，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形． 如图，过点Q作QE⊥l于点E.

∵∠DBP＋∠BPD＝90°，∠QPE＋∠BPD＝90°， ∴∠DBP＝∠QPE. 在△DBP与△EPQ中， ∠BDP＝∠PEQ＝90°，??

?∠DBP＝∠EPQ，

??BP＝PQ，

∴△DBP≌△EPQ.∴BD＝PE，DP＝EQ. 分两种情况：

2

2

2

2

2

4

m－1

①当P(m，)时，

2

∵B(1，0)，D(m，0)，E(m，2x－2)， m－1

m－1＝2x－2－，??2∴?

m－1??2＝m－x，

2

2

???x1＝1，?x2＝，2(均不合题意，舍去) 解得???m1＝1，??

?m2＝0.

②当P(m，2m－2)时，

∵B(1，0)，D(m，0)，E(m，2x－2)，

??m－1＝2x－2－2（m－1），∴? ?2（m－1）＝m－x，?

2

2

1

5

x＝－，?2??x＝1，??解得?9(均不合题意，舍去)

?m＝1，?

??m＝2.

2

11

2

综上所述，不存在满足条件的点Q.

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(2015·绵阳)已知抛物线y＝－x－2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x－a分

2别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA 相交于点N点．

(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；

(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；

(3)在抛物线y＝－x－2x＋a(a＞0)上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【思路点拨】 (1)把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围．利用二次函数解析式求得M、A的坐标；

(2)求出两直线的交点N，从而求出其对称点P，利用面积之差得△PCD的面积；

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