专题五 整除和带余问题
知识对对碰
1. 数的整除特征
(1)被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0、2、4、6、8，那么这个数能被2整除。 (2)被3整除的数的特征是：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。 (3)被4（或25）整除的数的特征是：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
(4)被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是O或5，那么这个数能被5整除。
(5)被8（或125）整除的数的特征是：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
(6)被9整除的数的特征是：如果一个数各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
(7)被11整除的数的特征是：从左向右，如果一个数在第奇数位上的数字和与在第偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。 2. 数的整除的性质
(1)如果甲数能被乙数整除，乙数又能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
(2)如果两个数都能被同一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。 (3)如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
3. 有余数除法
两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。 (1)被除数÷除数=商??余数 (2)被除数=除数×商+余数， (3)（被除数一余数）÷商=除数
例1(★)五位数A1A72能被12整除，五位数4B97B也能被12整除，求这两个五位数。
例2(★)两数相除商为8，余数为16，被除数、除数、商及余数的和是463，求被除数。
例3(★)检验下面加法算式是否正确。 34365 +29853 +26384 =90613
例4(★★)有一个四位整数16□□，如果要让这个四位数同时能被2、3、4、5整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？
例5(★★)用一个自然数分别去除25、38、43，所得的余数都不为0，且三个余数之和为18，求这个自然数。
例6(★★)小冬在计算一道除法题时，由于马虎，把除数36写成了62，结果得到的商是30余12，正确的商是多少？
例7(★★)求用1～9九个数码组成的能被11整除的、没有重复数字的最大九位数。
例8(★★★)2
2003
与2003的和除以7的余数是__________。
2002个2
例9(★★★)求111???1除以7的余数是多少？
例10(★★★)从1，5，9，13，?997中，任意找出200个数，把它们乘起来，积的个位数字是多少？
1．如果口34口表示一个四位数，而且这个四位数能被3整除，这个四位数最 小是多少？最大是多少？ 2．已知
x931y
表示一个五位数，且这个五位数能被45整除，求：满足条件的五 位数是多少？
3．用数字l、4、9、6可以组成多少个能被2整除的没有重复数字的三位数？ 4．王老师买了36支钢笔，一共花了口15.4口元，王老师只知道一定没有超过 800元，那么实际花了多少元？
5．两个数相除，除数是18，余数是7，被除数与商的差为262，被除数是多少？ 6．如果某数除492、2241、3 195都余15，那么这个数是多少？ 7．六位数A8962B能被99整除，求A和B。 8．自然数3??3???????3-1的个位数字是几？ ??68个3 9．鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物依次代表各年的年号。 如果公元1年属鸡年，那么公元2005年属什么年？
10.六位数865abc能同时被3，4，5整除，要使865abc尽可能小，口，6，c之和是多少？
11.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9?依次重复写下去组成一个2003位数，试问这个数能否被3整除？
12.在487后面补上三个数，使组成的这个六位数能同时被3，4，5整除，这个六位数最小是多少？ 13.小丁在计算有余数除法时，把被除数137错写成了173。这样商比原来多3，而余数正好相同，题中的除数和余数各是多少？
14.将自然数1、2、3、?依次无间隔地写下去，使这些自然数相加得到一个数，如果写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？
最少拿几次
晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧！?“好，你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的？”听完题后，小红陷入了沉思。 同学们，你们会做这道题吗？看看下面的答案：
至少拿7次，才能保证其中有3个棋子同一颜色。我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第4次开始，将有2个棋子是同一颜色。到第6次，三种颜色的棋子各有2个。当第7次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6个棋子中必有2个与它同色，即出现3个棋子同一颜色的现象。
同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？
专题六 三角形的内角和
知识对对碰
1.三角形按角分类。
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 直角三角形：有一个内角是直角的三角形。 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。 2. 三角形按边分类。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两条边称为腰，第三条边称为底边，两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角。 等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。 3. 三角形的三个内角的和等于180。
4. 等腰三角形的两个底角相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形。 5.等边三角形的三个内角相等，都是60。
例1(★)一个三角形有一个内角是72，它是另外一个内角的4倍，这个三角形是什么三角形？
例2(★)图6-1中，?1?15,?2?35，求∠3的度数。
例3(★★)如图6-2所示，六边形有六个内角，这六个内角的和是多少度？
例4(★★)四边形的四个外角和等于多少度？
例5(★★★)如图6-5，直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，那么∠1和∠2的大小有什么关系？∠3和∠4的大小有什么关系？为什么？
例6 (★★★)在图6-6中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F和∠G的度数和是多少？
例7(★★★)图6-7由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的4个内角各是多少度。
魔法训练营
1．既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫等腰直角三角形，等腰直角三角形的底角是多少度？
2．如图6-9，求∠1，∠2，∠3。
3．已知一个三角形的一个内角是900，是另一个内角的3倍，这个三兔形的另外两个角各是多少度？
4．如图6 -10，在正三角形ABC中，∠1=∠2，∠3 =∠4，求x的度数。
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