第2节 排列与组合
[A级 基础巩固]
1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 C．60
1
B．48 D．72
解析：第一步，先排个位，有C3种选择； 第二步，排前4位，有A4种选择． 由分步乘法计数原理知有C3·A4＝72(个)． 答案：D
2．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 C．72
B．120 D．24
1
4
4
解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A4＝24种坐法．
答案：D
3．(2020·湖南三湘名校联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A．360种 C．600种
B．480种 D．720种
45
3
解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C5A5＝600种，故选C.
答案：C
4．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )
A．240种 C．96种
B．192种 D．48种
2123
解析：当丙和乙在甲的左侧时，共有A2C4A2A3＝96种排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．
答案：B
5．不等式A8＜6×A8的解集为( ) A．{2，8} C．{7，12}
B．{2，6} D．{8}
xx－2
8！8！
解析：＜6×，
（8－x）！（10－x）！所以x－19x＋84＜0，解得7＜x＜12. 又x≤8，x－2≥0，
所以7＜x≤8，x∈N，即x＝8. 答案：D
6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )
1A. 51C. 2
2B. 53D. 5
3
*
2
解析：从这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数共有A5＝60(个)，其中24212
是偶数的有C2A4＝24(个)，所以所求概率P＝＝，故选B.
605
答案：B
7．将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( )
A．480种 C．240种
B．360种 D．120种
解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C5＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A4＝24种情况，则不同放法有10×24＝240(种)．故选C.
答案：C
8．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A．18种 C．36种
B．24种 D．72种
123
2
4
解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C3C2A3种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C3C2A3种，
所以由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C3C2A3＋C3C2A3＝36(种)． 答案：C
117
9．已知m－m＝m，则m＝________．
C5C610C7
123
223
223
解析：由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}，m！（5－m）！m！（6－m）！
5！
－6！
＝7×（7－m）！m！2
，整理可得m－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
10×7！
答案：2
10．如图所示的2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有________种．
A C B D 解析：根据题意，对于A，B两个方格，可在1，2，3，4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C4＝6(种)情况，对于C，D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16(种)情况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．
答案：96
11．(2020·青岛调研)学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．
C5C4C2
解析：由已知可得，先将5名学生分成3组，有2＝15(种)．
A2所以不同方法有15×A3＝90(种)． 答案：90
12．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法(用数字作答)．
解析：从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C8－C6＝55. 从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A4＝12(种)． 故总共有55×12＝660(种)选法． 答案：660
[B级 能力提升]
13．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )
A．甲 C．丙
B．乙 D．丁
24
4
3
122
2
C4A4
解析：甲所设密码共有CCC＝48(种)，乙所设密码共有＝36(种)，丙所设密码共有
2！
311443
22
C4C4A3＝144(种)，丁所设密码共有A4＝24(种)不同设法，所以丙最安全．
答案：C
14．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一个，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)
解析：先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C6A2＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C5A2＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种)．
答案：120
15．(2020·长沙雅礼中学检测)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．
解析：第一类：3个项目投资在两个城市，有C3·C1·A4＝36种不同方案； 第二类：3个项目投资在3个城市，有A4＝4×3×2＝24种不同方案． 共有36＋24＝60(种)不同方案． 答案：60
[C级 素养升华]
16．(多选题)下列等式中，正确的是( ) A．(n＋1)An＝An＋1 AnC．C＝ n！
mnmmm＋1
3
2
1
2
12
12
2124
B.D.
n！
＝(n－2)!
n（n－1）
1m＋1mAn＝An n－mn！（n＋1）！（n＋1）！m解析：对于A，(n＋1)An＝(n＋1)·＝＝（n－m）！（n－m）！[（n＋1）－（m＋1）]！
＝An＋1，正确；对于B，mmmnm＋1
n！n×（n－1）×（n－2）×…×3×2×1
＝＝(n－2)！，正确；
n（n－1）n（n－1）
AnAn1m＋11n！n！m对于C，C＝≠，错误；对于D，An＝·＝＝An，
m！n！n－mn－m（n－m－1）！（n－m）！正确．
答案：ABD
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