《二倍角的三角函数》教案
教学目标：
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识. 教学重点：
二倍角公式的推导及简单应用. 教学难点：
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. 教学过程： Ⅰ.课题导入
前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.
先回忆和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα 即：sin2α＝2sinαcosα(S2α) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α 即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)
tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
2tanα
1－tan2α
当α＝β时，tan2α＝
Ⅱ.讲授新课
同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢?
另外运用这些公式要注意如下几点：
ππkπ
(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠2 ＋kπ及α≠4 ＋2
ππ
(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝ ＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝ 24
kπ
＋2 ，k∈Z时tan2α的值不存在).
π
当α＝2 ＋kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：
π
即：tan2α＝tan2(2 ＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0 (2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
π3π
例如：sin3 ＝2≠2sin6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为
ααα3α
2α的2倍，将α作为 2 的2倍，将 2 作为 4 的2倍，将3α作为 2 的2倍等等.
III应用举例：
π12［例1］已知sinα＝，α∈(2 ，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.（P107）
13
练习题：
1.已知cosα＝m，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 解：∵cosα＝m，α在第二象限.
∴sinα＝1－cos2α ＝1－m2
∴sin2α＝2sinαcosα＝21－m2 ·m＝2m1－m2 cos2α＝2cos2α－1＝2m2－1 2m1－m2 sin2αtan2α＝cos2α ＝
2m2－11－m2 sinα
或由tanα＝cosα ＝m 2m1－m2 2tanα
tan2α＝ ＝
1－tan2α2m2－1［例2］若270°＜α＜360°，化简：2
11
2 ＋2
2α
112 ＋2 cos2α
解：∵cos2α＝2cosα－1，cosα＝2cos2 －1 ∴112 ＋2 112 ＋2
112 ＋2 cos2α
112 ＋ （2cosα－1） ＝22
112 ＋ cosα 22
＝
α
又∵270°＜α＜360° 135°＜2 ＜180°
11112α ＋ cosα ＝ ＋ （2cos
22222 －1） ＝
练习（选用）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值. 解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°
1
∴原式＝2 cos80°cos40°cos20° ∴原式＝αα
cos22 ＝－cos2
1
cos80°cos40°sin40°×2 1cos80°cos40°cos20°sin20°1＝2 × ＝2 ×
sin20°sin20°
11111
cos80°sin80°× × sin160°× × × 22222111
＝2 × ＝ × ＝
sin20°2sin20°16 1?sin2??cos2?例3．求证：?tan? （P108）
1?sin2??cos2?
［例4］求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3 (选讲)
1＋cos2θ2
2
证明：8cos4θ＝8(cos2θ)2＝8( )＝2(cos2θ＋2cos2θ＋1)
2
1＋cos4θ＝2( )＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3
2
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
. 二倍角的三角函数(一)作业
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