综合仿真练(一)(理独)
1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答 A．[选修4－2：矩阵与变换]
?31?
(2020-2021·江苏高考)已知矩阵A＝??.
?22?
(1)求A；
(2)求矩阵A的特征值．
2
?31?
解：(1)因为A＝??，
?22??31??31?2
所以A＝????
?22??22?
?3×3＋1×23×1＋1×2??115?＝??＝??. ?2×3＋2×22×1＋2×2??106?
(2)矩阵A的特征多项式为
?λ－3 －1?2
f(λ)＝??＝λ－5λ＋4.
? －2 λ－2?
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝4. B．[选修4－4：坐标系与参数方程]
π??在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点?32，?，求圆C的极坐标4??方程．
解：法一：因为圆心C在极轴上且过极点， 所以设圆C的极坐标方程为ρ＝acos θ， π??又因为点?32，?在圆C上，
4??π
所以32＝acos ，解得a＝6.
4所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cos θ. π??法二：点?32，?的直角坐标为(3,3)， 4??因为圆C过点(0,0)，(3,3)， 所以圆心C在直线为x＋y－3＝0上． 又圆心C在极轴上，
所以圆C的直角坐标方程为(x－3)＋y＝9.
2
2
1
所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cos θ. C．[选修4－5：不等式选讲]
(2020-2021·南通等七市一模)柯西不等式 已知实数a，b，c满足a＋b＋c≤1，求证：
2
2
2
2
2
1119＋＋≥. a2＋1b2＋1c2＋14
2
证明：由柯西不等式，得[(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)]·?≥a＋1·
所以
2?21＋21＋21?
?
?a＋1b＋1c＋1?
1
a2＋1
＋b＋1·
2122＋c＋1·＝9， b2＋1c2＋1
1
111999
＋2＋2≥222≥＝. a＋1b＋1c＋1a＋b＋c＋31＋34
2
2．(2020-2021·扬州期末)已知直线x＝－2上有一动点Q，过点Q作直线l1垂直于y―→―→
轴，动点P在l1上，且满足OP·OQ＝0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
?1??1?(2)已知定点M?－，0?，N?，0?，A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，?2??2?
且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．
―→―→
解：(1)设点P(x，y)，则Q(－2，y)，∴OP＝(x，y)，OQ＝(－2，y)， ―→―→―→―→22
∵OP·OQ＝0，∴OP·OQ＝－2x＋y＝0，即y＝2x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直线BD与x轴的交点为E，△MBD内切圆与
MB的切点为T.
??x＋1?，?y＝k?2??1???设直线AM的方程为y＝k?x＋?，联立方程，得?
?2???y2＝2x，
k2
4
＝0，Δ＝4－4k>0， 2－k±21－k∴x1,2＝， 2
2k11
∴x1x2＝且0 42∴直线AN的方程为y＝2 2 2 得kx＋(k－2)x＋ 222 y1?1? ?x－?， 1?2 2? x1－ 11222222 与方程y＝2x联立并整理得y1x－y1＋2x1－2x1＋x＋y1＝0， 24 1 化简得2x2 1x－??? 2x211＋2???x＋12x1＝0， 解得x＝14x或x＝x1 1，∴x3＝＝x2， 14x1∴直线BD⊥x轴， 设△MBD的内切圆圆心为H，连接HT，则H在x轴上且HT⊥AB. 法一：∴S1△MBD＝2·? ??x＋122???·|2y2|， 且△MBD的周长为2???x12＋2??2? ＋y22＋2|y2 |， ∴S1△MBD＝? 2?? 2 ???x＋12??2?＋y21122＋2|y2|? ???? ·r＝2·??x2＋2??·|2y2|， ??? x2＋1∴r＝2???|y2 |? |y2|＋ ?? x12＋2??2?＋y22 ＝ 111 1 ＋ 2＋ x1 y22＋ 2 ??x1? 2＋2? ?? 2 ＝ 11 1. 2x＋＋1 2? ?x12＋2??2?? x1 2＋ 2 令t＝x1 2＋2，则t>1， ∴r＝1111在(1，＋∞)上单调递增， 2t－1＋t2＋t则r>12＋1 ，即r的取值范围为(2－1，＋∞)． 法二：∴H(x2－r,0)，直线BD的方程为x＝x2， 直线AM的方程为y＝ y2??x＋1??， x＋ 1?2? 22 即y2x－???x＋122??1?y＋2y2＝0，且点H与点O在直线AB的同侧， 不妨设点B在x轴上方， 1
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