故a>-3 法二：f(x)=x+ax+2,x∈[1,+∞)
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)为增函数，故当x=1时，ymin当且仅当ymin=a+3>0时，函数f(x)>0恒成，故a>-3
x+2x+ax2=a+3，于是
法三：在区间[1,+∞)上，f(x)=恒成立
>0恒成立?x+2x+a>02故a应大于u=-x -2x，x∈[1,+∞)时的最大值?a>-x -2x恒成立，
22-3，
所以a>-3
一题多解 一题多变（七）
原题：:若f(1x)=x+1+x(x>0),则f(x)= 2
分析:用倒数换元
解: 令t=f(t)=1x则x=1t, 所以
112+1+()(t>0)tt将t换成x得到:
f(t)=112+1+()(x>0) xx1x)=3x,求f(x)的解析式
变题1：设f(x)满足关系式f(x)+2f( 解：t=1x则x=1t
- 13 -
11f()+2f(t)=3 tt将t换成x得到:
11f()+2f(x)=3xx
1x)与原式联立方程组消去f(f(x)?2x?x(x?0)
得到
变题2：已知af(x)?f(?x)?bx，其中a≠1试求f(x)的解析式
2解：用相反数换元 令t?
af(?t)?f(t)??bt ?x,x??代入到原式当中得到：t
将t换成x得到:
af(?x)?f(x)??bx
与原式联立方程组，得到：
(a?1)f(x)?b(a?1)x
2? ∴
a≠1
2
f(x)?b(a?1)bx?x2(a?1)a?1
变题3：已知af(4x?3)?bf(3?4x)?2x,a2解：令4x?3?t，则2x=∴af(t)?bf(?t)??b2，试求f(x)的解析式
t+32?t?32
(1)
将(1) 中t换－t得到:
af(?t)?bf(t)?t?32
与(1)联立方程组得到：
- 14 -
(a?b)f(t)?22a?b2t?32(a?b)
?a≠b22
1t?32(a?b)32(a?b)2?f(t)?2(a?b)12(a?b)n
?f(x)?x?变题4：已知af(xn)?解：设xn求f(x)f(?x)?bx，其中a?1,n为奇数，n=t,x=t 代入原式得：
af(t)?f(?t)?bnt将t换成—t得到:
af(—t)+f(t)=—bnt 与上式联立方程组得到
? ∴
(a—1)f(t)=b(a+1)t2n
a≠1
2f(x)?b(a?1)(a?1)2nt?ba?1nt b(a?1)(a?1)2n∴ f(x)的解析式为：f(x)?x?ba?1nx
一题多解
题目：设二次函数f(x)满足f(x—2)=截距为1，被x轴截的线段长为22且函数图象f(—x—2)，y轴上的
，求f(x)的解析式
分析：设二次函数的一般形式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，然后
根据条件求出待定系数a,b,c 解法一：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
- 15 -
由f(x—2)= 得： f(—x—2)， 又
Δa24a—b=0
x1—x2==22
c=1
∴b—4ac=8aa=122 由题意可知 解之得：
,b=2,c=1 12x+2x+1
f(x)=
解法二：f(x—2)=故函数y=f(—x—2)，
f(x)的图象有对称轴x=—2
可设y=a(x+2)2+k
? 函数图象与
y轴上的截距为1，则4a+k=1
2又? 被x轴截的线段长为2，则x1—x2=Δd=22
整理得：2a+k=0 解之得：
a=12,k=—1 12x+2x+1f(x)=
解法三：：
故 f(x—2)=f(—x—2)，
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