经典
第七节 二次函数的综合应用
要题随堂演练
1．(2018·莱芜中考)如图，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E. (1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，求线段DE长度的最大值；
(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2
图1
图2
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝3，抛物线y＝ax－ax－a经过点B(2，(1)求抛物线的解析式；
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； (3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
2
3
)，与y轴交于点D. 3
经典
3．(2018·自贡中考)如图，抛物线y＝ax＋bx－3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点． (1)求直线AD及抛物线的解析式；
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？ (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
2
经典
参考答案
a－b＋c＝0，??
91．解：(1)由已知得?16a＋4b＋c＝0，解得 b＝，
?4?c＝3，329
∴y＝－x＋x＋3.
44
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
??
???c＝3，
3a＝－，
4
???k＝－，?4k＋b＝0，4 ∴?解得?
?b＝3，??
?b＝3，
3
∴y＝－x＋3.
4
329
设D(a，－a＋a＋3)，(0 44 3 如图，过点D作DM⊥x轴，交BC于点M， 经典 3 ∴M(a，－a＋3)， 4 3293 ∴DM＝(－a＋a＋3)－(－a＋3)＝ 44432 －a＋3a. 4 ∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB， DEOB ∴△DEM∽△BOC，∴＝. DMBC 4 ∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴DE＝DM， 532123122 ∴DE＝－a＋a＝－(a－2)＋， 555512 ∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是. 5 (3)假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等． 3OC ∵F为AB的中点，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2. 2OF 如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H. GB ①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10. BCGHHBGB ∵△GBH∽△BCO，∴＝＝， BOOCBC∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)． 设直线CG的解析式为y＝kx＋b， ???k＝，?b＝3， ∴?解得?2 ?10k＋b＝8，?? ?b＝3， 1 ∴y＝x＋3， 2 1 y＝x＋3，??27∴?解得x＝或x＝0(舍)． 339 ??y＝－4x＋4x＋3， 2 1 5 ②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2， 2
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