若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中
a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
?1?t2x?，?2?1?t（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??y?4t?1?t2?正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）
111???a2?b2?c2； abc333（2）(a?b)?(b?c)?(c?a)?24．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 三、解答题
17．解：（1）由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC，故由正弦定理得b?c?a?bc．
22222214．
121 315．0.18 16．2
b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180，所以A?60．
（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120??C?2sinC，
??????即
6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 2222???由于0?C?120，所以sinC?60???2，故 2sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60? ?6?2． 418．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=
1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=
PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1???因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
uuur以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则
A(2,0,0)，A，M(1,3,2)，N(1,0,2)，uAuur1(2，0，4)1A?(0,0,?4)，uAuuur?(?1,0,?2)，uMNuuur1N?(0,?3,0)．
u设m?(x,y,z)为平面A的法向量，则???m?Auuur1M?01MA?uuur?m?A，
1A?0所以????x?3y?2z?0，?4z?0．可取m?(3,1,0)．
??uuu设n?(p,q,r)为平面A??n?MNur?0，1MN的法向量，则??uuuur?n?A1N?0．
所以????3q?0，??p?2r?0．可取n?(2,0,?1)．
?于是cos?m,n??m?n2315|m‖n|?2?5?5， 所以二面角A?MA101?N的正弦值为5． uAuuur1M?(?1,3,?2)，19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．
22?4?3?12(t?1)?y?x?t22由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则x1?x2??． 292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 92837x?． 28所以l的方程为y?uuuruuur（2）由AP?3PB可得y1??3y2． 3?y?x?t?2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3． 代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x当x???1,设为?.
?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(x)g'(x)g'(0)?0,g'()?0???有唯一零点，
22?2??则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大值点，
2??2??
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