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∴；
②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，
，，
∴
综上可知：或1.
（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在.设，，，
由得：
由得：，
∵，∴即
∴，结合得：∵，∴
从而， ，
∵点在椭圆上，∴，整理得：
即，∴，或.
千里之行 始于足下
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练习1．已知椭圆直线，若椭圆上存在两个不同的点，关于对称，设的中点
为.
（1）证明：点在某定直线上；（2）求实数的取值范围.
【答案】(1)见证明；(2) 或.
【解析】（1）当时，显然不符合题意，舍；
当时，设直线方程为，，，
则由相减，整理得，，
即，.又，.，即.
.故点在定直线上.
（2）由（1）易得点，由题意知，点必在椭圆内部，
，解得或.
练习2．已知椭圆的离心率为，且过点．
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（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设不过原点的直线满足
．
，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，
（i）当变化时，（ii）求
是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；
面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）y2＝1；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）（0，1）.
【解析】（Ⅰ）由题设条件，设ck，a＝2k，则b＝k，
∴椭圆方程为1，把点（，）代入，得k2＝1，∴椭圆方程为y2＝1．
（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．
证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，设
∴，．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，
∴4k＝k1+k2，
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∴2kx1x2＝m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．∴当k变化时，是定值．
②S△OPQ|x1﹣x2|?|m|，令t＞1，得S△OPQ1，
∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．
练习3．已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短
轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点 求椭圆C的标准方程；
直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；
若，求直线AR的斜率的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】椭圆的一条准线方程是，可得
，
，
短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得
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