【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从内容上看，柱、锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积是重点．本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．
如图所示的三个直角三角形是 一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.
解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm，6cm，三
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棱锥的高为hcm，则三棱锥的体积为V＝××5×6×h＝20，解得h＝4cm.故填4.
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类型三 空间多面体的直观图
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥． 画法：(1)画轴．如图1，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
图1
(2)画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取O′使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线
O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图2所示．
图2
【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图．
已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正
方形，则此四棱锥的体积为( )
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A.2 B．62 C. D．22 3
解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S＝22.因此该
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四棱锥的体积为V＝Sh＝×22×3＝22.故选D.
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类型四 空间旋转体的直观图
用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆
锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．
解：设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r. 根据相似三角形的性质得， 3r
＝，解得 l＝9. 3＋l 4r
所以，圆台的母线长为9cm.
【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．
圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.
解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1如图所示. 设正方体棱长为x，则CC1＝x，C1D1＝2x.作SO⊥EF于O，则SO＝2，OE＝1.
∵△ECC1∽△ESO，
21－x
2CC1EC1x
∴＝，即＝， SOEO12
2
解得x＝(cm)．
2
故内接正方体的棱长为
2cm. 2
1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．
2．正多面体
(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．
(2)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一
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个棱长为2a的正四面体A1-BDC1，其体积为正方体体积的.
3
(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．
3．长方体的外接球
(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2＋b2＋c2＝2R. (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝2R. 4．棱长为a的正四面体
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(1)斜高为a；(2)高为a；(3)对棱中点连线长为a；
232
66
(4)外接球的半径为a，内切球的半径为a；
412
2
(5)正四面体的表面积为3a2，体积为a3.
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5．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
6．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”．
三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变． 三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
2
S直观图＝S原图形，S原图形＝22S直观图．
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1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( ) A．六棱锥 B．六棱台
C．六棱柱
D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体
解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C. 2．下列说法中，正确的是( ) A．棱柱的侧面可以是三角形
B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等
解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．故选C.
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥
解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D.
4．将正三棱柱截去三个角(如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
A B C D
解：观察图形，易知图2所示几何体的侧视图为直角梯形，且EB为直角梯形的对角线．故选A.
四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( ) 5．(2013·
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
解：由俯视图可知该几何体的上、下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体．故选D.
6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )
A．22 B.2 C．23 D.3
解：由三视图可知，此多面体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，并且有一条长为2的侧棱垂直于底面，
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