§8.3 空间点、线、面之间的位置关系
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
本节内容在高考中常以几何体为载体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特别是异面直线的概念、所成角的计算等．题型多以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中，以此考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力．
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．
(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面． 公理2的推论如下：
①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．
2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类
(2)异面直线
①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．
②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．
③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．
3．平行公理
公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．
4．等角定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．
【自查自纠】
1．(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条
2．(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点
π
0，? 互相垂直 异面垂直 (2)③??2?3．同一条直线 4．相等或互补
安徽)在下列命题中，不是 (2013·公理的是( ) ．．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解：公理是不需要证明的原始命题，而选项A是面面平行的性质定理，故选A.
若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行
解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角．故选D. 若点P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且R?m，PQ∩m＝M，过P，Q，R三点确定一个平面γ，则β∩γ是( )
A．直线QR C．直线RM
B．直线PR D．以上均不正确
解：∵PQ∩m＝M，m ?β，∴M∈β.
又M∈平面PQR，即M∈γ，故M是β与γ的公共点．又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ， ∴R是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR.故选C. 给出下列命题：
①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面． 其中正确命题的序号是____________． 解：易知②③正确．故填②③.
在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝5，又AD＝6，BC＝8，则AD与BC所成角的大小是____________．
解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，GF，根据题意有EG∥AD，GF∥BC，∴直线AD与BC所成
11
的角与直线EG与GF的夹角相等，即∠EGF.又∵AD＝6，BC＝8，∴EG＝AD＝3，GF＝BC＝4，在△EGF
22中，EF＝5，∴EF2＝EG2＋GF2.∴∠EGF＝90°，则异面直线AD与BC所成的角为90°.故填90°.
类型一 基本概念与性质问题
如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解：由线面垂直关系知AC⊥SB.由线面平行判定知AB∥平面SCD.由图形对称性知C也正确．对于选项D，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB＝90°，∴D错．故选D.
【评析】此题虽是小题，但对空间中的线与线和线与面的关系的考查却很深刻，除用常规的方法证明垂直与平行外，对运用线面角、异面直线所成角和二面角的定义证题的方法也要熟练掌握，否则此题若建系求解，就会造成“小题大作”，浪费时间．
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线． (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′与CC′的夹角为45°.
(3)直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分别与直线AA′垂直．
类型二 点共线、线共点问题
如图，E，F，G，H分别是空间四边形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点
O.
求证：B，D，O三点共线．
证明：∵点E∈平面ABD，点H∈平面ABD， ∴EH?平面ABD. ∵EH∩FG＝O， ∴点O∈平面ABD.
同理可证点O∈平面BCD.
∴点O∈平面ABD∩平面BCD＝BD. 即B，D，O三点共线．
【评析】(1)本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线的基本思路：首先由其中的两个点B和D确定一条直线，然后证明点O也是直线BD上的点，也就是证明点O是两个平面的交线上的点．在证明点O也是直线BD上的点时，运用了公理1以及公理3，这种方法是证明点共线的通用方法．(2)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．
求证：(1)EF∥D1C；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明：(1)连接A1B，则EF∥A1B， A1B∥D1C.∴EF∥D1C.
(2)∵面D1A∩面CA＝DA，
1
且EF∥D1C，EF＝D1C，
2
∴D1F与CE相交．
又D1F?面D1A，CE?面AC， ∴D1F与CE的交点必在DA上． ∴CE，D1F，DA三线共点．
类型三 共面问题
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如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、
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H分别为FA、FD的中点．
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