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1．2.2 组合
整体设计
教材分析
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．
课时分配 3课时
第一课时
教学目标 知识与技能
理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．
过程与方法
m
通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数Am掌握组合n与组合数Cn之间的联系，数公式，能运用组合数公式进行计算．
情感、态度与价值观
能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力． 重点难点
教学重点：组合的概念和组合数公式． 教学难点：组合的概念和组合数公式．
教学过程
引入新课
提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式． 活动设计：教师提问． 活动成果：
1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1
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种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做
m表示． 从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An
m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)． 5．排列数公式：An
6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.
n！m＝7．排列数的另一个计算公式：An. (n－m)！设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础． 提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？
问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 活动设计：学生自己分析，教师提问．
活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．
设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念． 探索新知
提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念． 活动设计：学生小组讨论，总结概念． 活动成果：
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cmn表示．
设计意图：培养学生的类比和概括能力． 理解新知
提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？
(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？ (2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？ (5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？ 活动设计：小组交流，共同分析．
活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．
设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解． 提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系． 活动设计：小组交流，教师提问，学生补充．
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活动成果：
1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．
2．联系：(1)都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素； (2)排列可以看成先组合再全排列．
设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础． 提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数C34是多少吗？
活动设计：小组交流，共同推导． 活动成果：
由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A34可以求得，
3
故我们可以考察一下C34和A4的关系，如下：
组合 排列
abc→abc，bac，cab，acb，bca，cba abd→abd，bad，dab，adb，bda，dba acd→acd，cad，dac，adc，cda，dca bcd→bcd，cbd，dbc，bdc，cdb，dcb
由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共
3
有C34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A3种方法．由分步乘法计数原
A343333
理得：A4＝C4·A3，所以，C4＝3.
A3
设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法． 提出问题3：你能想出求Cmn的方法吗？ 活动设计：小组交流，共同推导． 活动成果：
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cmn，可以分如下两步： ①先求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Amn；
mmAm. ②求每一个组合中m个元素的全排列数Amm，根据分步乘法计数原理得：An＝Cn·m
得到组合数的公式：
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)AmnmCn＝m＝ Amm！n！或Cm＝(n，m∈N，且m≤n)． n
m！(n－m)！
规定：C0n＝1.
设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式． 运用新知
类型一：组合数公式的应用
7
1计算：(1)C47； (2)C10.
7×6×5×44＝解：(1)C7＝35； 4！10×9×8×7×6×5×4
(2)解法1：C7＝120. 10＝7！
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