函数一致连续性研究精品

f?x'??f?x''??f?x'??f?kT??f?x''??f?kT???2??2??. (5.1)

令??min?T,?1,?2?,则当x',x''????,??'x''??时,有下面?,x'?x'',x?结论:

(1)x',x''???kT,?k?1?T??,则f?x'??f?x''???； (2)x'????k?1?T,kT??,x''???kT,?k?1?T??,则

x'?kT?x'?x''????2, x''?kT?x'?x''????2,

因此由(5.1)式可得

f?x'??f?x''???.

综上所述,就证明了f在???,???上是一致连续的.

[证法2] 由于f在?0.2T?内连续,根据闭区间上的一致连续定理知: f在?0.2T?上一致连续,即???0,??1?0,?x',x''??0,2T?,当x'?x''??1时,

f?x'??f?x''???.

取??min??1,T?,对一切x',x''????,???,x'?x'',且x'?x''??时,必有整数n使得x'?nT?x0',x0'??0,T?;

又由于??T,所以x''?nT?x0'',x0''??0,2T?.

于是x0'?x0''??x'?nT???x''?nT??x'?x''??,故f?x'??f?x''???.这就证明了f在???,???上是一致连续的.

5.4方法3

证明一致连续时,常常估计f?x'??f?x''?的大小,可利用中值定理,三角函数和差化积,及其它常用不等式证明Lipschitz条件成立.

例5.3.1[4]设函数f为I上的一元函数,它满足Lipschitz条件,即

?x',x''?X,有f?x'??f?x''??Mx'?x'',其中M为常数,则f在I上一致连续.

???证明:???0,取???0,?,当x',x''?X,且x'?x''??时,

M?1??f?x'??f?x''??Mx'?x''?M??M.因此,f在I上一致连续.

例5.3.2 设0?a?1,证明:f?x??sin?M?1??,

1在?a,1?上一致连续. x证明:???0,取??a2?,则当x1,x2??a,1?,且x1?x2??时

f?x1??f?x2?1111??xx2xx211?sin?sin?2cos1.sin1x1x222x?x1?11?1111?2sin??????12?2x2?x1?2???,

2?x1x2?x1x2x1x2aa所以f?x??sin1在?a,1?上一致连续. x六、用连续模数描述一致连续性

6.1连续数模的定义[5]

若f?x?在区间I上有定义,则?f????supf?x'??f?x''?称为函数f的连

x',x''?Ix'?x''??续数模,可见?f???是关于?的非负,不减函数.

例6.1.1若f?x?在区间I上有定义,则f?x?在I上一致连续的充要条件是

??0?lim?f????0.

证明:(1)必要性:因为f?x?在I上一致连续,故???0,??1?0,当

x',x''?I,x'?x''??1时有f?x'??f?x''???2.从而,

?f??1??supx',x''?Ix'?x''??1f?x'??f?x''???2，

故0????1时,

0??f???????1???2??.

?f????0. 所以lim???0?f????0知：???0,??1?0使得0??f??1???,故当 (2)充分性:由lim???0x',x''?I,x'?x''??1有

f?x'??f?x''??supf?x'??f?x''???f??1???.

x',x''?Ix'?x''??1所以f在I上一致连续. 6.2函数一致连续的观察法

由上述结论可得函数一致连续的观察法[10]:因为?f???的值只与f的图形最陡的地方有关.若f的图形在某处无限变陡,使得?f???不趋近于0???0?,则f非一致连续.若f在某处最陡,但??0?时,此处的变差f?x'??f?x''??0,则f一致连续.

例6.2.1 f?x??1?x?0?,在x?0处,图形无限变陡; x???0,?f??????,??0?时?f???不趋近于0.因此f在

?0,c??c?0?上都是非一致连续的.

但在区间?c,???上,f?x??1在点c处最陡,且 x11?0???0??，

cc???f?????可见f在?c,???上一致连续.

七、一致连续函数的延拓问题

定理

f?f[4] f在?a,b?上一致连续?f可延拓为?a,b?上的连续函数.

?a,b??a,b?证明:(1)充分性:设f可延拓为?a,b?上的连续函数f,由有界闭区间上的一致连续性定理可知,f在?a,b?上一致连续,而f致连续.

(2)必要性:因为f在?a,b?上一致连续,所以对???0,????????0,当

?a,b??f?a,b?,因此f在?a,b?上一

x',x''??a,b?,x'?x''??时,

f?x'??f?x''???.

任取xn??a,b?,xn?a?,则?xn?为柯西数列.因此,存在正整数N,当

m,n?N时,xn?xm??,从而有

f?xn??f?xm???,

这就证明了?f?xn??收敛.

?xn',xn''?a??n????,显然有

xn''':x1',x1'',x2',x2'',…，xn',xn'',…?a?,

由上证得?f?xn'''??收敛,并且

n???limf?xn'??limf?xn'''??limf?xn''?,

n???n???f?x?存在有限.同理可证这就证明了?xn?a?,?f?xn??收敛于同一数,故lim?x?ax?b?limf?x?存在有限.令