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第一章函数、极限与连续
内容概要
名主要内容（1.1、1.2） 称 邻 Ua,??xx?a函 域 0数 ?U?a,?（即U?a,????x0?x?a???（U???f?????xa???x?a???） 0 ?a,????xa???x?a??,x?0?） 函 数 初等 函数 由此，两函数相等?两要素相同；（与自变量用何字母表示无关） 解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数； 局对集合X?D，若存在正数M，使对所有x?X，恒有fx?M，称 特 部 性 有函数fx在X上有界，或fx是X上的有界函数；反之无界，即任意正数 界 ，总存在（能找到）x0?X，使得fx0?M M（无论M多大）性 局 区间I?D，对区间上任意两点xx2，当x1?x2时，恒有： 1部 单 fx1?fx2，称函数在区间I上是单调增加函数； 调 反之，若fx?fx，则称函数在区间I上是单调减小函数； 12性 设函数fx的定义域D关于原点对称；若?x?D，恒有f?x?fx， 奇偶则称fx是偶函数；若?x?D，恒有f?x??fx，则称fx是奇 性 函数； 周若存在非零常数T，使得对?x?D，有x?T?D，且 期性 fx?T?fx，则称fx是周期函数； 几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数； 两个要素：对应法则以及函数的定义域D ?????????????????????????????????????? 反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数 课后习题全解
习题1-1
★1．求下列函数的定义域：
知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量R的取值的集合； 思路：常见的表达式有①loga□,（□?0）②N/□,（□?0）③④arcsin（
(?0)
???1,1?）等
?x?0?x?012???x???1,0???0,1?； 解：（1）y??1?x??2?1?x?1x?1?x?0?x?1x?1（2）y?arcsin??1??1??1?x?3；
22?3?x?0?x?31（3）y?3?x?arctan?????x????,0???0,3?；
x?x?0?x?0（4）y?lg3?x?0?3?x?x?3?????x????,?1???1,3?； x?1?0?x?1?1?x,or,x??1优质参考文档
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?0?x?1?2?x??1,2???2,4?； （5）y?logx?1(16?x)??1?x?1?0?16?x2?★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？
（1）
f(x)?lgx2与g(x)?2lgx；（2）y?2x?1与x?2y?1
知识点：函数相等的条件；
思路：函数的两个要素是f（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则f相同（化简
后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；
2解：（1）f(x)?lgx的定义域D=xx?0,x?R，g(x)?lgx的定义域D?xx?0,x?R}，
虽然作用法则相同lg???x2?2lgx，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；
（2）y?2x?1，以x为自变量，显然定义域为实数R；
x?2y?1，以x为自变量，显然定义域也为实数R；两者作用法则相同“2□?1”
与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；
??sinx,x???3★3．设?(x)???0,x???3?y??(x)的图形
知识点：分段函数；
思路：注意自变量的不同范围； 解：?()?sin，求?(?)，?()，?(?)，?(?2)，并做出函数 644????66???2??0；如图：
?1?2???，????sin?242?4?，???2???????sin?????2?4??4?
32y 0?3? 3x图1-1-3 ★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：
?3
（1）
y?x???,1?（2）y?2x?lnx，?0,??? 1?x知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的
某个子区间上函数的单调性的问题。
思路：利用单调性的定义即可。
解：（1）设x1，x2????,1?，当x1?x2时，
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x1xx1?x2?2??0，由单调性的定义知是单调增函数；
1?x11?x2?1?x1??1?x2?（2）设x1，x2??0,???，x1?x2，
xy1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?ln1
x2y1?y2?由x1，x2??0,???，x1?x2，知
x1x?1，故ln1?0（对数函数的性质），则有 x2x2y1?y2?0，得结论是单调增函数；
★5．设f(x)为定义在??l,l?内的奇函数，若f(x)在?0,l?内单调增加，证明：f(x)在??l,0?
内也单调增加
知识点：单调性和奇偶性的定义。
思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件； 证明：设x1,x2???l,0?,x1?x2，则?x1 ,?x2?(0,l),?x2??x1，
由f?x?在?0,l?内单调增加得，f??x2??f??x1???1?，又f?x?为定义在??l,l?内的奇函 数，则（1）式变形为?f?x2???f?x1?，即f?x2??f?x1?，则结论成立。
★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：
（2） 两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
（3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。
本题可作为结论应用。
思路：按定义证明即可。 证明：设函数f?x?,g?x?定义域分别是D1,D2（D1,D2是关于原点对称区间）；
（1）设F?x??f?x??g?x?，定义域为D1?D2，显然D1?D2也关于原点对称，
当f?x?,g?x?均为偶函数时，F??x??f??x??g??x??f?x??g?x??F?x?，得 F?x?为偶函数；
当f?x?,g?x?均为奇函数时，F??x??f??x??g??x???f?x??g?x???F?x?，得 F?x?为奇函数；
（2）令G?x??f?x?g?x?，定义域为D1?D2，D1?D2关于原点对称，
当f?x?,g?x?均为奇函数时，G??x??f??x?g??x???f?x?(?g?x?)?G?x?，得 F?x?为偶函数；
当f?x?,g?x?均为偶函数时，G??x??f??x?g??x??f?x?g?x??G?x?，得F?x?为
偶函数；
当
f?x?,g?x?为一奇一偶时，G??x??f??x?g??x???f?x?g?x???G?x?，得G?x?
为奇函数；
★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？
ex?e?x（1）y?tanx?secx?1；（2）y?2（4）y?x?x?2??x?2?。
；（3）
y?xcosxecosx；
知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；
思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质； 解：（1）f??x??tan??x??sec??x??1??tanx?secx?1，显然既不等于f?x?，也不
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等于?f?x?，故是非奇非偶函数；
下面三个函数的定义域为全体实数R，关于原点对称
e?x?e???x??fx，故是偶函数； （2）f?x?（3）（4）
2f??x???xcos??x?ecos??x??f?x?，故是偶函数；
????f??x???x??x?2???x?2???f?x?，故是奇函数；
★8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：
（1）
2y?cos?x?1?；（2）y?xtanx；（3）y?sinx。
知识点：函数周期性。
思路：利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数y?Acos??x????C，
则最小正周期T?2??，切函数也有类似结论）。
解：（1）由弦函数周期公式知最小正周期T?2?；
（2）对正数T，不是周期函数；
（3）
f?x?T???x?T?tan?x?T?，而切函数周期是?
的整数倍，故本题函数
y?sin2x?★★9．证明：
2?1?cos2x??，则最小正周期T?22f?x??xsinx在?0,???上是无界函数；
知识点：无界函数定义。
思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对?M?0（无论M有多大），?x0?(0,??)，使其
函数值|证明：对于任意正数M，要使|f?x?|?|xsinx|?M，
考虑当xf?x0?|?M即可。
?2k???2, ?k?Z?，|f?x?|?|xsinx|?2k???2?∴要使2k???2M??M，只要k????M???22,(M??），取k0????1 2?2?2???????∴?M∴
，?x0?2k0???0（无论M有多大）
?2，使得|f?x0?|?|x0sinx0|?M，
f?x??xsinx在?0,???上是无界函数
???M?????2??2也可；
（注1：k0取值只要并且确保f?2k????M即可，因此取k0???2?2????????注2：数学符号“?”表示“任意”；“?”表示“存在”；“?”表示“使得”。）
★10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，超重
部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费
f?x?（元）与行李重量x?kg?之间的函数关系式。
知识点：函数关系的建立。
思路：认清变量，关键是找出等量关系。 解：
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