4.5 三角函数的图象和性质
A组 基础题组
1.函数y=3-2sinx的最小正周期为( ) A. B.π
2π
2
C.2π D.4π
2
答案 B ∵y=3-2sinx=2+cos 2x,∴最小正周期T=π,故选B. 2.函数f(x)=sin xcos x+2cos 2x的最小正周期和振幅分别是( ) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2 答案 A ∵f(x)=sin xcos x+cos 2x =sin 2x+cos 2x=sin(2??+), 223
∴最小正周期和振幅分别是π,1.故选A.
3.(2019台州中学月考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2]时,f(x)=sin x,则f(A.- B. C.- 2
21
1
√32π
5π3
1
√3π√32
√3)的值为( )
D.
√32
答案 D ∵f(x)的最小正周期是π, ∴f(
5π3
)=f(3π-2π)=f(-3),∵f(x)是偶函数,
π
π√35π3
5π
∴f(-)=f()=sin=,∴f(
3332
π
)=2,故选D.
√34.(2017浙江金华十校联考)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω >0),则f(x)的奇偶性( ) A.与ω有关,且与φ有关 B.与ω有关,但与φ无关 C.与ω无关,且与φ无关 D.与ω无关,但与φ有关
答案 D 因为f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ, 所以f(-x)=-sin ωxcos φ+cos ωxsin φ.
若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立,故cos ωxsin φ=0恒成立,所以sin φ=0,故φ=kπ,k∈Z;
1
若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,故sin ωxcos φ=0恒成立,所以cos φ=0,故φ=kπ+2,k∈Z. 综上, f(x)的奇偶性仅与φ有关,故选D.
5.(2017课标全国Ⅲ理,6,5分)设函数f(x)=cos(??+3),则下列结论错误的是( ) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=
8π3
π
π
对称
C.f(x+π)的一个零点为x= 6
π
D.f(x)在(,π)单调递减
2
π
答案 D f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f(
π
8π3
)=cos(3π+3)=cos 3π=-1,为f(x)的最小值,
π
π
π
π
8π
故B正确;∵f(x+π)=cos(??+π+3)=-cos(??+3),∴f(6+π)=-cos(6+3)=-cos2=0,故C正确;由于f(
2π3
π
)=cos(
2π3
+3)=cos π=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在(2,π)上不单调,故D错误.
π
ππ
6.函数f(x)=sin(2??-4)+1的最小正周期为 ;单调递增区间是 ;对称轴方程为 . 答案 π;[??π-π8
,kπ+
3π8
](k∈Z);x=
??π3π2
+
8
(k∈Z)
解析 根据函数性质知,最小正周期T=令2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2(k∈Z), 解得kπ-≤x≤kπ+
8π
3π8
π
π
π
2π2
=π.
(k∈Z),
π8
所以单调递增区间是[??π-再令2x-4=kπ+2(k∈Z), 解得x=
??π3π2π
π
,kπ+
3π8
](k∈Z).
+
8
(k∈Z),
??π3π2
即对称轴方程为x=+
8
(k∈Z).
*
7.(2018温州高中模拟)设ω=N且ω≤15,则使函数y=sin ωx在区间[4,3]上不单调的ω的个数是 . 答案 8
ππ
1
解析 当x∈[4,3]时,ωx∈[由题意知
????π4
ππ??π4
,
??π3
],
π??π 3 ,k∈Z, 则4 则ω=5,8,9,11,12,13,14,15时符合题意,共8个. 8.(2017金丽衢十二校一联)若函数f(x)=2sinωx+2√3sin ωxsin(????+2)-1(ω>0)的最小正周期为1,则ω= ,函数f(x)在区间[-6,4]上的值域为 . 答案 π;[-2,√3] 解析 f(x)=2sinωx+2√3sin ωxsin(????+)-1=√3sin(2ωx)-cos(2ωx)=2sin(2????-), 26 2 2 1??π 11 ππ ∴2??=1?ω=π,∴f(x)=2sin(2π??-6), ∴当x∈[-6,4]时,2πx-6∈[-π1 1 π π2 2ππ ,3], π ∴2sin(2π??-6)∈[-2,√3], ∴f(x)=2sin(2π??-6)在[-6,4]上的值域为[-2,√3]. 9.(2019杭州学军中学质检)已知f(x)=sin 2x-√3cos 2x,若对任意实数x∈(0,4],都有|f(x)| 解析 因为f(x)=sin 2x-√3cos 2x=2sin(2??-3),x∈(0,4],所以2x-3∈(-所以2sin(2??-)∈(-√3,1], 3 所以|f(x)|=|2sin(2??-3)|<√3,所以m≥√3. 10.已知0≤φ<π,函数f(x)=cos(2x+φ)+sinx. (1)若φ=,求f(x)的单调递增区间; 6π √32 2 π11 π ππππ3 ,6], π π π (2)若f(x)的最大值是2,求φ的值. 解析 (1)由题意得f(x)=4cos 2x-4sin 2x+2 =2cos(2??+3)+2, 1 π 1 1 √3 1 3 1 由2kπ-π≤2x+3≤2kπ(k∈Z), 得kπ-2π3 π ≤x≤kπ-6(k∈Z). 2π3 π 所以函数f(x)的单调递增区间为[??π-√31 √3,kπ-6],k∈Z. 1 3 π (2)由题意f(x)=(2cos??-2)cos 2x-2sin φsin 2x+2,由于函数f(x)的最大值为2, 221√3√3即(2cos??-2)+(2sin??)=1,从而 cos φ=0, 又0≤φ<π,故φ=2. 11.(2018台州高三期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(??>0,|??|≤)的最小正周期为π,且x=为函212数f(x)的图象的一条对称轴. (1)求ω和φ的值; (2)设函数g(x)=f(x)+f(??-6),求g(x)的单调递减区间. 解析 (1)因为f(x)=sin(ωx+φ)(??>0,|??|≤2)的最小正周期为π,所以ω=2, 又2x+φ=kπ+2,k∈Z, 所以f(x)的图象的对称轴为x=由= 12 π??ππ??2 4 2 π3 π π π π π π ??ππ??2 +4-2,k∈Z. +-,得φ=kπ+(k∈Z). π2 π3 又|φ|≤,则φ=. (2)函数g(x)=f(x)+f(??-)=sin(2??+)+sin 2x 63=2sin 2x+2cos 2x+sin 2x=√3sin(2??+6). 令2kπ+2≤2x+6≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+ 6π 2π3 π π 3π2 1 √3π π π ,k∈Z, ,k∈Z, π6 所以g(x)的单调递减区间为[??π+,kπ+ 2π3 ],k∈Z. B组 提升题组 1.(2018武汉武昌调研)若f(x)=cos 2x+acos(2+x)在区间(6,2)上是增函数,则实数a的取值范围是( ) π π π 1 A.[-2,+∞) B.(-2,+∞) C.(-∞,-4) D.(-∞,-4] 答案 D f(x)=1-2sinx-asin x,令sin x=t,t∈(2,1),则g(t)=-2t-at+1,t∈(2,1),因为f(x)在(6,2)上单调递增,所以-4≥1,即a≤-4,故选D. 2.已知0 2 2 2 2 1 2 1 ππ??5 5 B.sin x>sin(2-y) D.sin x 2 2 2 2 C.sin(2-x) 2 答案 C 因为0 2 5 √11-1 <1.2.由2 2 2 22 55 由x+y<2得0 22 2 5 2 53π 2 5π 2 1π ππ1+π2 时,显然不成立,故C不正确;由x+y<2得 2 5 0 3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(??>0,|??|<2)的图象过点(0,2),若f(x)≤f(6)对x∈R恒成立,则ω的值为 ; 当ω最小时,函数g(x)=f(??-)-在区间[0,22]的零点个数为 . 32答案 1+12k(k∈N);8 解析 由题意得φ=3,且当x=6时,函数f(x)取到最大值,故6ω+3=2+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈Z,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,因此,g(x)=f(??-)-=sin x-在区间[0,22]的零点个数是8. 3224.(2017浙江镇海中学第一学期期中)已知f(x)=cos x(λsin x-cos x)+cos(2-x)+1(λ>0)的最大值为3. (1)求函数f(x)的图象的对称轴方程; (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=3,c=√7,△ABC的面积为解析 (1)f(x)=2sin 2x-cosx+sinx+1=2sin 2x-cos 2x+1, ??2 2 2 5ππ 2 π π√3π π√2πππππ π√2√2 π 3√32 ,求△ABC的周长. ?? 1
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