二次函数的图像与性质（教案）

二次函数的图像与性质（教案）

教学目标：

一. 知识与技能：

1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图像与性质 2. 懂得从图像中获取有关的性质信息。 3. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。

二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。

三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。 教学重点：如何在图像中获取有用的信息。 教学难点：性质的综合应用 教学过程：

一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数

形结合，研究函数就是用数形结合的思想

二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图像与性质

二.讲评：

一. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的性质： 1.图像位置

一题.5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x2+2x+1 的图像可能是（ ）

y O x O x O x O x Ａ． Ｂ． 2Ｃ． Ｄ． 总结抛物线y?ax?bx?c?a?0?的性质： a、b、c的代数式 a 作用

说明 a?0 a?0 1. a的正负决定抛物线的开口方向； 2. a决定抛物线开口大小 决定对称轴的位置，对称轴b为直线x?? 2a确定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标（0，c） 开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴 对称轴在y轴右侧 交点在y轴的正半轴 交点是原点 交点在y轴的负半轴 抛物线与x轴有2个交点 抛物线与x轴有1个交点 抛物线与x轴有0个交点 a、b同号 b=0 a、b异号 c?0 c?0 c?0 b2?4ac?0 b2?4ac?0 b2?4ac?0 b c b2?4ac

决定抛物线与x轴交点个数 第1页共4页

4ac?b2是二次函数的a?0时，顶点纵坐标4a?b4ac?b2?最小值。 ?, 决定顶点位置 ??4a?4ac?b2?2a是二次函数的a?0时，顶点纵坐标4a最大值。 当y?0时，即ax2?bx?c?0，则抛物线与x的交点坐标为决定抛物线与x轴交点的横轴?b?b2?4ac ??b?b2?4ac???b?b2?4ac?坐标 2a,0?,?,0? ?????2a2a????k【练习】 已知反比例函数y?的图像如下右图所示，则二次函数y?2kx2?x?k2的图像大

x致为（ ）

OxOxyyyyyOx OxOx A．

B． C． D

【总结】灵活运用二次函数中a、b、c、b2?4ac的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。

2.图像对称性

二题4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-1, 0)和(5, 0)两点, 则该抛物线的对称轴是

【总结】二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴

b对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即x??2ax?xb?x1,y?,?x2,y?时，12??。

22a【练习】抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x?2且抛物线上点A

（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标

是 。 3. 二次函数的增减性：

三题1．抛物线 y=x2-2x-1 的对称轴是 ，当x 时，y随x的增大而减小

【总结】

bb①如图1，当a?0时，当x??时，y随x的增大而增大，当x??时，y随x的增

2a2a大而减小。

bb②如图2，当a?0时，当x??时，y随x的增大而减小，当x??时，y随x的增

2a2a

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大而增大。

【练习】 已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y?x2?1上，下列说法中正确的是（ ） A．若y1?y2，则x1?x2 B．若x1??x2，则y1??y2 C．若0?x1?x2，则y1?y2 D．若x1?x2?0，则y1?y2

4.最值问题

例如一题6. 如图所示，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y??x2?4x?2，此水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2?6

【练习】1.二次函数y=-3x2+30x的最大值是 。

2.二次函数y=-3x2+30x(6≤x≤10)的最大值是 。 3.二次函数y=-3x2+30x(6≤x≤10)的最小值是

二、二次函数图像的平移：

二题6.把抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移 2个单位，平移后得到抛物线______________ 【规律】：把抛物线y=-3x2向左平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。把抛物线y=-3x2向右平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。 即：左加右减h

把抛物线y=-3x2向上平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。把抛物线y=-3x2向下平移1个单位，平移后得到抛物线_____________。 即：上加下减k

三.二次函数解析式的求法：

三题1. 如图，直线y?x?m和抛物线y?x2?bx?c点A(1，0)，B(3，2)．

⑴求m的值和抛物线的解析式； ． 解：（1）∵直线y=x+m经过点A(1,0)

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yB都经过

OAx

∴0=1+m

∴m=－1．即m的值为－1

∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0),B(3,2)．

?0?1?b?c，∴?

2?9?3b?c.??b??3解得?

c?2?∴二次函数的解析式为y=x2?3x?2．

【总结】一些常见二次函数图像的解析式

① 如图1：若抛物线的顶点是原点，设 y?ax2?a?0? ；

② 如图2：若抛物线过原点，设y?ax2?c?a?0?； ③ 如图3：若抛物线的顶点在y轴上，设y?ax2?bx?a?0?；

④ 如图4：若抛物线经过y轴上一点?0,3?，设y?ax2?bx?3?a?0?； ⑤ 如图5：若抛物线知道顶点坐标?h,k?，设y?a?x?h??k?a?0?。

【练习】已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．

求二次函数的函数关系式；

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2

四、二次函数综合题

1. 二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像如图所示， 则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2-4ac＞0，其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

2. 已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像如图所示，有下列4个结论：①abc?0；②b?a?c；③4a?2b?c?0；④b2?4ac?0；其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三1.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2） （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m 的解集（直接写出答案）。

(3)设抛物线与x轴交于点C,求三角形ABC的面积

考考你

1．抛物线y=x2-4的顶点坐标是 （ ） A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4） 2．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)上的两个点，则它的对称轴是 （ ）

bx?? A、 B、x=1 C、x=2 D、x=3

a

ay?(a?0)的图像在一、三象限，则函数y=ax2+a图象经过的象限是 3．已知反比例函数 x（ ）

A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限 4.二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函

数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

三. 课堂小结：

1. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的性质： 图像的位置

抛物线的增减性。 抛物线的对称性。 最值问题 2. 抛物线的平移

3. 抛物线解析式的求法。 四. 作业：完成课后练习。

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