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2012年全国初中数学竞赛预赛试题
江西省吉安市
一、 选择题：（每题7分，共42分）
1、化简27?21?123?23?419?83的结果是（ ） A、2 B、 －2 C、－33 D、33
2、一次考试共有5道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1题，91%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题，如果做对3题以上的（含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（ ）。
A、70% B、 79% C、74% D、81% 3、如图：在△ABC中，
AD?111AB,BE?BC,CF?CA,则333AN:NL:LE等于
（ ）
A、2：1：1 B、3：2：1 C、3：3：1 D、2：3：1
4、满足方程x2?y2?2(x?y)?xy的所有非负整数解的组数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
5、如图：正方形ABCD的边长为215，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别交DE，DB于M，N,则△DMN的面积为（ ） A、8 B、9 C、10 D、11
x2?2x?46、使分式2的值为整数的实数
x?3x?3x的值的个数是（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7 二、填空题（每题7分，共28分）
7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 .
8、边长为9cm, 40cm,41cm的三角形的重心到外心的距离是
k29、已知二次函数y?ax?bx?c,一次函数y?k(x?1)?42，若它们的
图像对于问题任意的数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为
10、代数式x2?9?(x?8)2?49的最小值是 三、解答题（共三大题，70分）
11、已知关于x 的方程(k?2)(k?4)x2?(10k?28)x?24?0的根是整数，求满足条件的所有实数k的值（20分）
12、如图：在矩形ABCD中，点P在AB上，且△ACP是等腰三角形，O是AC的中点，OE⊥ AB于有，点Q是OE的中点，求证：PQ⊥ CE（25分）.
13、已知二次函数y?x2?(m?3)x?m?4图像与轴交于点A(x1,0),点B(x2,0）(x1 （1）求m的值； （2）是否可能出现∠CAB＝∠CBA？ 若可能，求出m的值；若不可能，比较∠CAB与∠CBA的大小； （3）当∠CAB与∠CBA互余时，△ABC的面积是多少？（25分） 2011年全国初中数学竞赛试题 (考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分) 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设x?5?3，则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为（ 2 ） A、0 B、1 C、﹣1 D、2 2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）△（x, y）＝（u, v）,那么（x, y）为（ ） A、（0, 1） B、（1, 0） C、（﹣1， 0） D、（0, ﹣1） 3、已知A，B是两个锐角，且满足sin2A?cos2B?5t4， 3cos2A?sin2B?t2，则实数t所有可能值的和为（ ） 4A、?8 B、?5 C、1 D、11 3334、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD 相交于点F，设S四边形EADF＝S1，S?BDF＝S2，S?BCF＝S3，S?CEF＝S4，则 AS1S3与S2S4的大小关系为（ ） A、S1S3﹤S2S4 B、S1S3＝S2S4 EDC、S1S3﹥S2S4 D、不能确定 F5、设S＝1111+++L+13233320113，则4S的整数部 BC第4题图 分等于（ ） A、4 B、5 C、6 D、7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数a, b（其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 . 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 . 8、如图，双曲线y? （x?0）与矩形 OABC的边BC， BA分别交于点E， F， 且AF＝BF，连结EF，则△OEF的面积为 . 9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为 . 10、设四位数abcd满足a3?b3?c3?d3?1?10c?d，则这样的四位数的个数为 . 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰 2x好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1, 求a?b?c的值. 12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D， 延长AD交CH于点P， A求证：点P为CH的中点. OH PC BO 13、若从1,2,3,…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5， 其中总有一个整数是素数，求n的最大值. 14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC. 点P在△ AABC内,且PA=3, PB=5, PC=2, 求△ABC的面积. 1D2PCB 2011年全国初中数学联赛江西赛区初赛试题 （考试时间2011年3月二0日9：30—11：30） 第一试 一、选择题（每题7分，共42分） 1、设a为质数，并且7a2?8和8a2?7都是质数，若记x?77a?8，y?88a?7，财在以下情况中，必定成立的是（ ） A、x,y都是质数 B、x,y都是合数 C、x,y一个是质数，一个是合数 D、对于不同的a,以上各情况皆可 2、化简 3?2217?122?3?2217?122的结果是 （ ） A、2 B、?2 C、2 D、-2 3、22011?32011的末位数字是( ) A、1 B、3 C、5 D、7 4、方程x?3?4x?1?x?8?6x?1?1的解的情况是（ ） A、无解 B、恰有一解 C、恰有两个解 D、有无穷多个解 5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中的全体正三角形的个数是（ ） A、24 B、36 C、38 D、76 6、设a,b为整数，并且一元二次方程x2?(2a?b?3)x?(a2?ab?6)?0有等根α，而一元二次方程2ax2?(4a?2b?2)x?(2a?2b?1)?0有等根β，那么以α、β为根的一元二次方程是（ ） A、2x2?7x?6?0 B、2x2?x?6?0 C、x2?4x?4?0 D、x2?(a?b)x?ab?0 二、填空题( 每题7分，共28分) 1、Rt△ABC的三条边长分别为3、4、5，若将其为内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 2、若x3?5x2?7x?3?(x?4)3?a(x?4)2?b(x?4)?c，则(a,b,c)= ( ) 3、如图：正方形ABCD的边长为1，E是CD边 外的一点，满CE∥BD,BE=BD,则CE= 4、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S表示圆周 上所有的十二个数的和，那么数S所有可能的取值情况有 种。 第二试 一（20分）试确定，对于怎样的整数a,方程5x2?4(a?3)x?a2?29?0的正整数解？并求出方程的所有正整数解。 二（25分）锐角△ABC的外心为O，外接圆的半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D、E、F；证明 1112???。 ADBECFR 三、（25分）设k为正整数，证明： 1、如果k是两个连续正整数的乘积，那么25 k+6也是两个连续正整数的乘积； 2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么 k也是两个连续正整数的乘积； 2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题 第 一 试 一. 选择题（每小题7分，共42分） 1、化简（A）、 3?5?13?486?22； 的结果是（ ）． 22 （B）、； （C） 2； （D）、． 2、△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）． (A)、12； (B)、13；(C)、26；(D)、30． 3、设ab≠0，且函数f1(x)?x2?2ax?4b与f2(x)?x2?4ax?2b有相同的最小值u；函数f3(x)??x2?2bx?4a与f4(x)??x2?4bx?2a有相同的最大值v；则u+v的值( ). (A)、必为正数；(B)、必为负数；(C)、必为0； (D)、符号不能确定． 124、若关于x的方程 根，那么，必有实根的方程是（ ）． 没有实 (A)、； 、 (B)；(C)、； (D)、 ． 5、正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF，；记x?BEBNCF,,则有（ ,y?,z?OMONBF ）. （A）、x>y>z； （B）、x=y=z； （C）、x=y>z； （D）、x>y=z． 6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个 圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）． (A)、4种； (B)、 8种； (C)12种、； (D)、16种． 二、 填空题（每小题7分，共28分） 1、若k个连续正整数之和为2010，则k的最大值是 ． 2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 . 3、圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为：AB=2,BC=7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为 . 4、在±1±2±3±5±20中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 ． 第 二 试 一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长a,b是方程x2?(k?2)x?4k=0的两根，求 k的值并确定直角三角形三边之长． 二、（25分）如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线： PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF,CD=CE；证明：AE=AF． 三、（25分）已知a,b,c为正整数，且3a?b3b?c为有理数，证 明 a2?b2?c2a?b?c为整数． “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 1．若 aba?b?20,c?10，则bb?c的值为（ ）． （A）1121 （B）2111 （C）11021021 （D）11 2．若实数a，b满足 1a?ab?b2?2?0，则2a的取值范围是 （ ）． （A）a （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=4?22，CD＝42，则AD边的C 长为（ ）． B （A）26 （B）46 （C）4?6 （D）2?26 4．在一列数x1,x2,x3,……中，已知A 第3题图 D x1?1，且当k≥2时，xk?xk?1?1?4{[k?1k?2]?[]}44y （取整符号［a］表示不超过实数的最大整数， P · D A 例如[2.6]=2,[0.2]=0），则x2010等于（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 x O 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等C B 腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），第9题图 B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2） 二、填空题 6．已知a＝5?1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正 中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ． 9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值n0满足200?n0?3000，则正整数的最小值为 ． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、如图：△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： tan?PAD?EF BCAE AD． ． 12．如图，抛物线y?ax2?bx（a0）与双曲线y?相交于点 A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）. kx(1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标. 13．求满足2p2?p?8?m2?2m的所有素数p和正整数m. 2009年全国初中数学江西赛区预赛试题 （2009年3月22日上午9：30~11：30） 一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） 1、已知非零实数a、b满足|2a－4|+|b+2|+(a-3)b2 +4=2a，则a+b等于（ ） A、－1 B、0 C、1 D、2 2、如图所示，菱形ABCD边长为a， 点O在对角线AC上一点，且OA=a，OB=OC=OD=1,则a等于（ ） A、 B、1 C、1?125 D、 1?52 3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次 掷出的点数为b，则关于x、y的方程组?只有正数解的 ?x?2y?2概率为（ ） 12513A、 B、 C、 D、 12918364、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD， ∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→ C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面 积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ） A、10 B、16 C、18 D、32 5、关于x、y的方程x2?xy?2y2?29的整数解（x、y）的组数为（ ） A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、 后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时 报废，那么这辆自行车将能行驶 ； 7、已知线段AB的中点为C，以点C为圆心，AB长为半径作 圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心， DA的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F、G两点，连接FG交 AH AB于点H，则 的值为 ； AB ,a2,a3,a4,a5满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同8、已知a1 的整数，若b是关于x的方程(x?a1)(x?a2)(x?a3)(x?a4)(x?a5)?2009的 ?ax?by?3整数根，则b的值为 ； 9、如图所示，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线， 若AC=15，,BC=20，CD=12，则CE的长等于 10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都 想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个 人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ； 三、解答题（共4小题，每题20分，共80分） 11、函数y?x2?(2k?1)x?k2的图像与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围？ 12、在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点”，求二次函数y?(x?90)2?4907的图像上的所有“好点”的坐标. 13、如图，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？ ,a2,??,an满足如下条件：14、n个正整数a1 1?a1?、a2?a3???an?2009且a1 ,a2,??,an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n的最大值。 2009年初中数学竞赛江西赛区决赛试题 第一试 一、 选择题（每小题7分，共42分） 1、化简A、 2 3?21?7?24?3?21?7?2463的值是（ ）. D、 74 B、 3 2 C、. 经化简后得到 2、a,b,c是互不相同的实数， 则代数式 a2(x?b)(x?c)b2(x?c)(x?a)c2(x?a)(x?b)??(a?b)(a?c)(b?a)(b?c)(c?a)(c?b)（ ）. A、a2 B、b2 C、c2 D、x2. 3、设实数a （ ）. A、ax+by+cz B、cx+by+az C、bx+ay+cz D、ax+cy+bz 4、若△ABC的三条边长AB=3，AC=4，BC=5，分别以A、B、C为圆心作⊙A，⊙B，⊙C，使得这两个圆两两相切，则⊙A，⊙B，⊙C面积之比是（ ）. A、1：2：3 B、3：4：5 C、1：4：9 D、9：16：25 5、数组{a,b,c,d},a 6、若一元二次方程x2?ax?b?0的两根为整数，且两根的平方和为2009，则这种方程有（ ）. A、1个 B、2个 C、4个 D、8个. 二、填空题（每小题7分，共28分） 7、从前20个正整数1，2，……20中选择5个不同的数填写在一个圆周上，使得圆周上每相邻两数之和都是平方数，你的填法是（ ）.（如果写成一行，首尾的数看成相邻）. 8、若f(x)= 13x?2x?1?x?2x?1?x?123232, 则f(1)+f(3)+f(5)+ …+f(2009)= . 9、若AD，BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID= . 10、设akAB?2k32k?1，k为自然数，令A?a1?a2??a9，B?a1a2?a9， 则= . 第二试 三、 解答题（本题三大题，共70分） 11、（20分）若关于x的方程 x4?16x3?(81?2a)x2?(16a?142)x?a2?21a?68?0的各根为整数，求a的值，并解此方程. 12、（25分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点，E，F分别是边AC，AB上的点，且DE∥AB，DF∥AC，作点D关于EF的对称点F， 证明：PD平分∠BPC，且△PBC∽△AEF. 13、（25分）将前300个正整数1、2、3、4、…、300顺 次在黑板上排成一行，然后划去两数1、2，而将这两数的和写在最后面，成为3、4、5、6、…300、3；接着，再划去前两数3、4，而将这两数的和写在最后面，成为5、6、7、8、…、300、3、7；象这样一直进行下去，直到黑板剩下一个数为止，试求黑板上出现过所以数之和（包括每次划去的数在内）. 2009年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1. 设a?7?1，则3a3?12a2?6a?12? （ ） D. 47?12. A.24. B. 25. C. AC＝8，则BC＝（ ） A.72. 47?10. 2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7， B. 10. C. 105. D. 73. 3．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2?2[x]?3?0的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ） A. 4. 73. 14 B. 37. C. 12. D. AD5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2， E以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin?CBE＝ （ ） A.63BC. B. 23. C. 1. 3 D. 1010. 6．设n是大于1909的正整数，使得n?1909为完全平方数的 2009?nn的个数是 （ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知t是实数，若a,b是关于x的一元二次方程x2?2x?t?1?0的两个非负实根，则(a2?1)(b2?1)的最小值是___ _____. 2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为_ __. 3．如果实数a,b满足条件a2?b2?1，|1?2a?b|?2a?1?b2?a2，则a?b?____ 4．已知a,b是正整数，且满足2(序数对(a,b)共有 对. 第二试 一、（本题满分20分）已知二次函数y?x2?bx?c(c?0)的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P. （1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点. （2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC＝2，求b和c的值. 1515?)是整数，则这样的有ab 二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内 B心，AC＝3，BC＝4，求I1I2. F DI2 EI1 AC 三．（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件： a?b?c?32 ① b?c?ac?a?ba?b?c1???bccaab4 ② 是否存在以a,的最大内角. b,c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形 2008年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） .1．设a2?1?3a，b2?1?3b，且a?b，则代数式（ ） (A)(D)11. 11?22ab的值为 (C) 5. (B)7. 9. 2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB?6， ，EF?3，则线段BE的长为 BC?5（ ） (A)18. 5 (B)4. (C)21. 5 (D)24. 53．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张， 把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为 个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ） (A)1. 5 (B)3. 10 (C)25. (D)1. 24．在△ABC中，?ABC?12?，?ACB?132?，BM和 CN分别是这两个角的外角平分线，且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则 （ ） (A)BM?CN. (B) BM?CN. (C) BM?CN. (D) BM和CN的大小关系不确定. 5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价 格和最低价格的比值为r，则r的最小值为 （ ） (A)(D) 9()38. (B) 9()48. (C) 9()58. 9. 86、已知实数x,y满足(x?x2?2008)(y?y2?2008)?2008，则3x2?2y2?3x?3y?2007的值为（ ） (A) ?2008. (B)2008. (C) ?1. (D)1. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） a5?a4?2a3?a2?a?25?1? 1．设a?，则 2a3?a . 2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD所在直线上的 两点，且AM?5，?MAN?135?，则四边形AMCN的面积为 3．已知二次函数y?x2?ax?b的图象与x轴的两个交 点的横坐标分别为m，n，且m?n?1.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p，q，则p?q? 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 第二试 一．（本题满分20分）1、已知a2?b2?1，对于满足条件0?x?1的一切实数x，不等式a(1?x)(1?x?ax)?bx(b?x?bx)?0（1）恒成立.当乘积ab取最小值时，求a,b的值. 二．（本题满分25分） 如图，圆O与圆D相交于A,B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB?BC. （1）证明：点O在圆D的圆周上. （2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.。 三．（本题满分25分）1、设a为质数，b为正整数，且9(2a?b)2?509(4a?511b)求a，b的值. 2008年全国初中“数学周报”杯数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分） 1．已知实数x，y满足 （ ）． （A）7 （B） 5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数 y?x2?mx?n的图象与 424424，则的值为??3，y?y?3?y424xxx1?13 2 （C） 7?132 （D） x轴有两个不同交点的 概率是（ ）． （A） （B） （C） （D） 5124917361 23．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )． （A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条 4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB?a?1． 以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点 A的一点，且DB?AB?a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长 为（ ）． （A）（D）a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数 （4题） 5a 2 （B）1 （C） 32 之 和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）． （A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u?v?uv?v．若关于x的方程x?(a?x)??有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 ． 147．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆 （第8题） 18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每 隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟． 8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的 平分线，MF∥AD，则FC的长为 ． 9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC， 分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 ． 10．关于x，y的方程为 ． 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分） 11．在直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?b（k?0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于OA?OB?3． （1） 用b表示k； （2） 求△OAB面积的最小值． x2?y2?208(x?y)的所有正整数解 12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程 px2?qx?p?0有有理数根？ 13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论． 14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值． 2008年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷） （2008年4月１９日 上午９：00—１１：３０） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案， 其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1、从分数组?1111112,4,6,8,10,12?中删去两个分数，使剩下的数 之和为1，则删去两个数是（ ） （A）1与1 (B)1与1484 (C)110与1810 (D)1与1812 2、化简32?51?5的结果是（ ） （A）132 (B)54 (C) (D) 1?587 5题图 3、555的末尾三位数字是（ ） （A）125 (B)375 (C)625 (D)875 ??xyx?2y?1.........(1)?4、若实数x,y,z满足方程组：??yzy?2z?2..........(2), 则有（ ） ???zx?z?2x?3...........(3)（A）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=0 5、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ） （ A）15 (B)18 (C)21 (D)24 6、某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数ab与cd，结果所得到的六位数2abcd8恰是一个完全立方数，则ab?cd=（ ） （A）４０ (B)５０ (C)６０ (D)７０ 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 7、设(x?x2?1)(y?y2?4)?9,则xy2?4?yx2?1? . 8、一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了 第 （即：形如ab的两位数被当成了两位数ba），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是 . 9、如图，在边长为1的正三角形ABC中，由两条含1200圆心角的弓 形弧，及边BC所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 . 10、不超过(5?3)6的最大整数是 . 三.解答题（共70分） 11. （本题满分20分）设a为整数,使得关于x的方程ax2-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根. 12. （本题满分25分）如图，四边形中ABCD中 ，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K; 求证：K是线段MN的中点. 13. （本题满分25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？ 2007年江西省初中数学预赛试题 （2007年3月24日上午9：00~11：00） 第一试 一、选择题（本大题共六小题，每小题7分，共42分） 1、20072007的末位数字是（ ） A、1 B、3 C、3?2 D、3?2 2、化简2?32?2?3?2?32?2?3的结果是（ ） A、3 B、2 C、3?2 D、3?2 3、若a,b,c为正数，已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个相等的实根，则方程(a?1)x2?(b?2)x?c?1?0的根的情况是（ ） A、没有实根 B、有两个相等的实根 C、有两个不等的实根 D、根的情况不确定 4、若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点，则这种直角三角形的个数为（ ） A、36 B、60 C、96 D、120 5、对于给定的单位正方形，若将其两条对角线以及每两条边的中线连线作出，便得到右图，则图中互为相似的三角形“对子”数有（ ） A、44 B、552 C、946 D、1892 6、若将三条高线长度分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z），则在以下四个三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的个数为（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，共28分） 7、满足方程3x?4?35?3x?1的所有实数x的和为 8、边长为整数，周长为20的三角形个数是 9、在边长为1的正方形ABCD中，分别为A、B、C、D为 圆心，作半径为1的圆弧，将正方形分成图中的九个小块， 则中心小块的面积是 10、用数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样的四位数共有 个 第二试 三、解答题：（本大题共3小题，共70分，第11小题20分，第12、13小题各25分） 11、试求所有的正整数a，使得关于x的一元二次方程x2?5a2?26a?8x?(a2?4a?9)?0的两根皆为整数 DACB 12、四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，证明：四边形ABCD为平行四边形 CD FPE BA 13、若数a能表示成两个自然数（允许相同）的平方和，则称a为“好数”，试确定在前200个正整数1，2，…，200中，有多少个“好数”？ 2007年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分） 1．方程组 ?x?y?12,?x?y?6?A 的实数解的个数为 （ ）． （A）1 （B）2 （C）3 D E （D）4 B C 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5 个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于（第4题图）2 个但不多于8个，红球不少于2个， 黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A）14 （B）16 （C）18 （D）20 3．已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于y x的一元二次 方程ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0恰有一个公共A 实数根， C a2b2c2则??的值为（ bccaab ） （A）0 （B）1 （C）2 （ D ） ) (第6题图3 4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等， P 则⊙O一定经过△ABC的（ ）． （A）内心 B）外心 （C）重心 （D）垂心 C E D O 3235．方程x?6x?5x?y?y?2的整数解（x，y）的 B （第7题图） O E B F D x A 个数是（ ）． （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多 二、填空题（共5小题，每小题6分，満分30分） 6．如图，点A，C都在函数y?33（x＞0）的图象上，点B， D点在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ． 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n?90?，则n＝ ． 9．已知点A，B的坐标分别为（1,0），（2,0）．若二次函数y?x2?(a?3)x?3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的A 取值 B 范围是 ． Q 10．已知对于任意正整数n，都有C a1?a2???an?n3， 则1?1???1＝ a2?1a3?1a100?1 ． D xG F 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知抛物线C1:y??x2?3x?4和抛物线C2:y?x2?3x?4相交于点A，B两点．点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值． y 解： A P O Q B (第11题图) E （第8题图） x 12．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2?abx?1(a?b)?02是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明． 解： 13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足DE＝AD．若CD，FE的延长线相交于点G，△ CFBCDEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：(1）AD＝PDBCPC；（2）△PAB∽△PDC． P G 证明： E A D B C F （第13题图） 14．（1）是否存在正整数m，n，使得m(m?2)?n(n?1)？ （2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m， n，使得m(m?k)?n(n?1)？ 解： 2006年全国初中数学竞赛初赛试题 （2006年3月12日 上午9：00—11：00） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 3x?2y?a,1．要使方程组??2x?3y?2的解是一对异号的数，则a的取值 ?范围是（ ） (A) 4＜a＜3 (B) a＜4 (C) a＞3 (D) a＜4，或a＞ 3333 2．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1 cm，那么△DEF的周长是（ ） (A) 5 cm (B) 6 cm (C)（6?cm 3．将长为15 dm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（ ） (A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种 4．作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y?2(x?1)2?1，则抛物线A所对应的函数表达式是（ ） (A) F G A B C E D (第6题) 3）cm (D)（3?3） y??2(x?3)2?2 (B) y??2(x?3)2?2 (C) y??2(x?1)2?2 (D) y??2(x?1)2?2 5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 1 33266．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点A处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点．如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D处．依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能停到的顶点是（ ） (A) C，E，F (B) C，E，G (C) C，E (D) E，F 7．一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，若a，b都是偶数，c是奇数，则这个方程（ ） (A) 有整数根 (B) 没有整数根 (C) 没有有理数根 (D) 没有实数根 8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是（ ） (A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm和4 cm，那么 (第8题) 以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm． 10．将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 ． 11．△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．已知a= 10，b= 3?2，c= 3?2，则bsinB+csinC的值等 于 ． 12．设直线y?kx?k?1和直线y?(k?1)x?k（k是正整数）及xF 轴围成的三角形面积为是 ． B E Sk，则 M S1?A S2?S3?L?S2006D 的值13．如图，正方形ABCD和正方形 C （第13题） G CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点， 连结MF，则MF的长为 ． 14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 ． 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．已知a，b，c都是整数，且a?2b?4，求a?b?cab?c2?1?0，的值． 16．做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件．怎样分配给 每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？ 17．如图所示，⊙O沿着凸n边形A1 A2 A3…An-1An的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置． (1) 当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了两 圈． (2) 当⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时 ⊙O自身转动的圈数． 18．已知二次函数y?x2?2(m?1)x?m?1． AAn-（第17 O· AAA (1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2) 如果直线y?x?1经过二次函数y?x2?2(m?1)x?m?1图象的顶点P，求此时m的值． 2006年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120 分 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，则a的值等于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ） （A）h<1 （B）h=1 （C）1 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一 条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则 QCQA的值为（ ）C D O B （A）23?1（B）23 （C）3?2（D）3?2 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分） Q 6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，A P c－a=2005．若a 7．如图，面积为ab?c的正方形DEFGD 内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 a?c的值等于 bA 5题 G ． B E F C （第7题图） 8．正五边形广场ABCDE的周长为2000 米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． 9．已知0 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码 和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知x?，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为1），且a≤8，2?1?x?3?1．试写出一个满足条件的x；求所有满足条件的x． 12．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式求a的取值范围． P K 13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙OE 的两条切线，切点分别为 B A A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连 O 结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB． C （第13题） 14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以 ba 找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值． 2006年全国初中数学联合竞赛试卷（C卷） 第一试 （4月9日 上午 8:30-9:30） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；K = SS1、，KPP1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设 1 = ，则下面关于（ ）SK、K1的说法正确的是 ．1 P1 A.K、K1均为常值 B.K为常值，K1不为常值 C.K不为常值,K1为常值 D.K、K1均不为常值 2.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x2 –mx + 1 = 0的两根，则sin4α+ cos4α的值为 （ ）2． A. B. 1 7 D.1 9 C. 关于x的方程|x39 2 3. |= a的取值范围是 （ x – ）1 仅有两个不同的实根，则实数a． A.a > 0 B.a ≥4 C.2 < a < 4 D.0 < a < 4 4.设b>0，a2 -2ab + c2 = 0，bc > a2，则实数a、b、c的大小关系是 （ ）． A.b > c >a B.c> a > b C.a > b > c D.b > a > c 5.设a、b为有理数，且满足等式a + b3 =6 ? 错 ， 则 a + b的 A.2 B.4 C.6 D.8 6.将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，……，则这列数中的第158个数为 （ ）． A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 二、填空题（本题满分28分,每小题7分） 1.函数y = x2 -2006|x|+ 2008的图象与x轴交点的横坐标之和等于__________． 2.在等腰Rt△ABC中，AC = BC =1， M是BC的中点， CE⊥AM于E交AB于F，则S⊿MBF = __________. 3.使x2 + 4 + (8 - x)2 + 16 取最小值的实数x的值为__________. 4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(100,0)，B(100,100)，C(0,100)．若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足： S⊿POA ? S⊿PBC = S⊿PAB?S⊿POC ，就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好 值为 （ ）． 点”的个数为__________. （注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．） 第二试 (4月9日 上午 10:00-11:30) 一、(本题满分20分) 如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．又已知∠EDF = 90°，ED = DF = 1，AD A= 5．求线段BC的长． F CBD E 二、(本题满分25分) 在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心． (1)求证：O、E、O1三点共线； (2)求证：若∠ABC = 70°，求∠OBD的 度数． AD O1．E BOFC 三．（本题满分25分） 设p 为正整数，且 p ≥ 2. 在平面直角坐标系中，连结点A（0，p)和点B( p，0)的线段通过 p – 1 个格点C1(1，p - 1），… ，Ci( i，p – i)，… ，Cp – 1 ( p – 1，1）. 证明：（1）若p 为素数，则在原点O(0，0）与点Ci( i，p – i)的连线段OCi（i = 1，… ，p - 1）上除端点外无其它格点；(2) 若在原点O(0，0）与点Ci( i，p – i)的连线段OCi（i = 1，… ，p - 1）上除端点外无其它格点，则p 为素数. 2005年全国初中数学联赛初赛试卷 3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30 学校___________ 考生姓名___________ 一、选择题:（每小题7分，共计42分） 1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ） （A）a＞b?a2＞b2; (B)a≠b?a2≠b2; (C)|a|＞b?a2＞b2; (D)a＞|b|?a2＞b2 2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ） （A）0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·22005 3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为 正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。 (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ） （A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1 5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ） （A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个 6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（ ） （A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0 二、填空题: （每小题7分，共计28分） 1、已知：x为非零实数，且x?xx2?1=_____________。x12?12 = a, 则 2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________. 3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________. 4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有 __个。 三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的 点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。 四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。 B O D C A E 五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y=a+c－b ,z= b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2=y ,z?y=2,试求积abc的所有可能的值。 2005年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题(满分30分) 1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( ) AEDAB(E)DB(E)DAGB图aFCFC图bFC图cA.2 B.3 C.4 D.5 2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数 3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.设A?48?(111??L)，则与32?442?41002?4A最接近的正整数 是( ) A.18 B.20 C.24 D.25 5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y?x2?x?12的函数值中整数的个数是( ) A.59 B.120 C.118 D.60 二、填空题(满分30分) 6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。 7.在直角坐标系中，抛物线y?x2?mx?32m(m?0)与4x轴交于 A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且 满足 112??，则OBOA3m=_____. 8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________ 9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________ 10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数，且x1+x2+x3+…+x19=59，x12+x22+x32+…+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_________。 三、解答题、(满分60分) 11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。 EPAQCDBR 12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K ?和BD?的中点。求分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是BC证： ?1? BPNQ?PMQB CADPQ?2??KPM:?NQKMB第14题图N13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q). 14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a, 2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分） 1、已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2.则bba?aab的值为（ ）. (A)23 (B)-23 (C)-2 (D)-13 2、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c,斜边上的高为h，则有（ ） （A）ab=h2 （B）1?1?1 （C） abh111??a2b2h2 （D） a2+b2=2h2 3、一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ） （A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b 4、如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2。若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 5、如果x和y是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0,那么x+y等于（ ） （A）3 （B） 13 （C）1?132 （D）4?13 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC= (度)。 7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距 离 d（单位：km）有T=kmn 的关系（k为常数）。现测得A、B、2dC三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t表示）。 8、已知实数a,b,x,y满足a+b=x+y=2,ax+by=5,则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= . 9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD),∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长为 。 10、实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx =3,则 z的最大值是 。 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11、通过实验研究，专家发现：初中学生听课的注意力指标是随着老师讲课时间的变化而变化的。讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）。当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。 （1） 当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式； （2） 一道数学竞赛题，需要讲解24分钟。问老师能否经过适 当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。 12、已知a、b是实数，关于x、y的方程组 有整数解（x,y），求a,b满足的关系式。 13、D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP=∠ACB,求PBPD的值。 14、已知a<0,b≤0,c<0,且b2?4ac = b-2ac,求b2-4ac的最小值。 2004年全国初中数学联赛试题 第一试 一．选择题 a2b2c2则代数式??的值是 bccaab1．已知abc≠0，且a+b+c=0, （ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 2．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是( ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形 3． 一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ） (A) 5?2 23?12ab (B) 5?12 (C) 3?22 (D) 4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数 (A) ab? (B) ab? (C) ab? (D) ab?1 41818146．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ） (A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50 二．填空题 1 ． 计 算 11?2?12?3?13?4?L?12003?2004? . 2．如图ABCD是边长为a的正方形，以D DC为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 BNNCANPB= . 3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= . 4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则 m= . 第二试（A） 一． 已知方程x2?6x?4n2?32n?0的根都是整数，求整数n的值。 二． 已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。 求证：EP=FQ 三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t, t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 BF表示为自变量CEt的 函数。 2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分） 1、若4x―3y―6z=0，x―2y―7z=0，（xyz≠0），则代数式5x?2y?z的值等于（ ） A 2x?3y?10z222222A ― B ― C ―15 D ―13 G 12192B C D E F 2、在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.8元， 超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增 加邮费0.80元（信的质量在100g以内），如果某人所寄一封信的 质量为72.5g，那么他应付邮费（ ） A 2.4元 B 2.8元 C 3元 D 3.2元 3、如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= A （ ） A 360° B 450° C 540° D D C 720° O B 4、四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们 拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x 可取值的个数为（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 5、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照 留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求 各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（ ） A 1种 B 2种 C 4种 D 0种 二、 填空题（共5个小题，每小题6分，满分30分） 111??6、已知x=1―3，那么x?= 。 2x?4x?221177、若实数x，y，z满足x+1=4，y+=1，z+=，则xyzyxz3的值为 。 列 8、观察下图形： ① ② ③ 第9题 根据图①、②、③的规律，图④中的三角形的个数为 。 9、如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如 A 果CD与地面成45°，∠A=60°， D E CD=4m，BC=(46―22)m，则电线杆P AB的长为 m。 O 10、已知二次函数y=ax2+bx+c（其 C 中a是正整数）的图像经过点A(―1，4)B 与点B(2，1)，并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 。 三、解答题（共4小题，每小题15分，满分60分） 11、如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P，问EP与PD是否相等？证明你的结论。 12、某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时），若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1D 16 E 千米需要的平均费用为1.2元，试指出此人 C 1从A城出发到B城的最短路线（要有推理11B O 过程），并求出所需费用最少为多少元？ A 5 11 1H 9 F G 7 14 13、如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k―2)x+k=0(k是整数的最大整数根)，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B、CA 是直线PBC与⊙O的交点，若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不O 是合数，求PA2+PB2+PC2的值 P C B 14、沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a、b、c、d满足不等式(a―d)(b―c)>0，那么就可以交换b、c的位置，这称为一次操作。 （1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a―d)(b―c)≤0？请说明理由。 （2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任 1 意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a―d)(b―c)≤0？请说明 理由。 6 2 3 5 4 2003年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 （4月13日上午8:30—9:30） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.23?22?17?122等于（ ） A.5?42 B.42?1 C.5 D.1 2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A.0 B.1 C.3 D.5 3.若函数y=kx(k>0)与函数y?的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（ ） A.1 B.2 C.k D.-k 4.满足等式xy?x?y?2003x?2003y?2003xy?2003的正整数对(x,y)的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且 AD1?．若AB31x在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则CE的值为 EA34（ ） A. 1 2 B. 1 C. 31 4 D. 516.如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（ ） A.3 B.4 C. 15 4 D. 16 5 D C E 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） A B 21.抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=__________． 2.设m是整数，且方程3x2?mx?2?0的两根 C 都大于?而小于，则m=____________． 9537E A B D B' 3.如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若AA'?BB'?AB，则∠BAC的度数为A' _____________． 4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________． 第二试（A） （4月13日上午10:00—11:30） 一、（本题满分20分） 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 二、（本题满分25分） 在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N． 求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF． 三、（本题满分25分） 1、已知实数a，b，c，d互不相等，且a?试求x的值． 2、已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16． ⑴这样的四边形有几个？ ⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值． 2003年山东省“KLT快灵通杯”初中数学竞赛试题 （2003年11月30日上午 8：00-11：00） 一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题促括号内。 1．如果a,b,c是非零数，且a+b+c=0,那么所有可能的值为（ ） abcabc???cbcabc1111?b??c??d??x，bcda的 （A） 0 （B） 1或-1 （C） 2或-2 （D） 0或-2 2．如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（ ） （A） a?1 （B）a2?1 （C） a2?2a?1（D）a2?2a?1 3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛。比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜3局、负3局。若丙负3局，那么丙胜（ ） （A）0局 （B）1局 （C）2局 （D）3局 4．关于x的不等式组 的取值范围是（ ） 1111 （B）?6?a?? 221111（C）?6?a?? （D）?6?a?? 222x?5?x?53只有 x?3?x?a25个整数解，则a （A）?6?a??5．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1,则这个正方形的面积为（ ） 7?353?5（B） 2225?1（C）（D）1?2 2（A） ⅡⅠaba??ⅢⅢⅣbⅠⅣ6．某种产品按质量分 ba为10个档次，生产最低档 次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加E2元。用同样工时，最低档次产品每天可生产A60件，提高一个档次将减少3件。如果获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（ ） B（A） 5 （B） 7 （C） 9 （D）10 C7．如图，在Rt?ABC中，∠C=90°∠A=30°∠C的 平分线与∠B的外角平分线交于E点，连结AE，则是 （A） 50° （B）45°（C）40° （D）35° 8．已知四边形ABCD，从下列条件中： Ⅱ⑴AB∥CD ⑵BC∥AD ⑶AB=CD ⑷BC=AD ⑸∠A=∠C ⑹∠B=∠D 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（ ） （A）4种 （B）9种 （C）13种 （D）15种 二、填空题（本题共4小题，每小题8分，满分32分）：将答案直接填写在对应题目的横线上。 9．已知?1?a?0，化简 1?1???a??4?a??????4a?a???22得 。 10．如图，已知AD=DB=BC，如果∠C=α,那么∠ABC= 。 11．甲、乙两厂生产同种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的，然而实际情况并不理想。 11甲厂仅有的产品、乙厂仅有的产品销 23D34C到了济南。两厂的产品仅占了济南市场 13AB同类产品的。则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为 。 12．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元。则租用该公司客车最少需用租金 元。 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分） 13．如图，在Rt?ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E， DF∥AC交BC于点F 求证：（1）四边形CDEF是正方形； C （2）CD2?2AE?BF F E ABD 14．设方程20022x2?2003?2001x?1?0的较大根是r，方程2001x2?2002x?1?0的较小的根是s,求r-s的值 15．在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数。求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格），每对小方格中所填之数的差均不小于10。 2002年全国初中数学联合竞赛试卷 （2002年4月21日8：30—10：30） 一、选择题（本题42分，每小题7分） 1、已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a，b，c的大小关系是（ ） (A) a 3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（ ） (A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0 4、直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC=90o，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则 △AFE的面积为（ ） (A)18 (B)20 (C)22 (D)24 5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1 相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ） (A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3 6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 y A OO x O 1 -1 B 1 2 二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知a<0，ab<0，化简， 1? |a?b?32|?|b?a?3| . 2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为 3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。 4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对 （x，y）共有 对。 三、（本题满分70分） 1、（本题满分20分） 已知：a ，b，c三数满足方程组??a?b?8，试求方程2ab?c?83c?48?bx2+cx-a=0的根。 2、（本题满分25分） 如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。 A P ' R Q B P 3、（本题满分25分） 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0 C 有且只有整数根。 2002的全国初中数学竞赛试题 （2002年4月7日上午 9：30——11：30） 一、选择题（每小题5分，共30分） 1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则 a?b的值为（ a?b ） A、3 B、6 C、2 D、3 2、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c DC＝1999x＋2002，则多项式 FGa2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( ) A、0 B、1 C、2 D、AEB3 3、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点， 连AF、CE交于点G，则 A、 B、 5645S四边形AGCDS矩形ABCD3C、 4等于( ) D、 ?3?3234、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋， 则x、y、z中至少有一个值( ) A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0 5、设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是( ) 22A、?＜a＜ 57?3 2B、a＞ 5 2C、a＜? 7 D、?A2＜a＜110 PA6、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A15C等于( ) A、a2?b2 B、a2?ab?b2 1C、?a?b? 2 D、a＋b B二、填空题（每小题5分，共30分） 7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根， 则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为 。 8、已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标， a＜b，则a?c?c?b的值为 。 O3 9、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是 O △ABC内的一点， B A 1 O2 O 使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6， O4 则PB＝ 。 10、如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OA为直径作 ⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4， 这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。 11、满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有 个。 12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。 三、解答题（每小题20分，共60分） 13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？ 14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。 QDACCPAC2??(1)求证：（2）求证： PECE2EDEC673425 FABQPEDC 15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的方）。 证明：（1）2a、2b、c都是整数； （2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？ 2001年全国初中数学联赛 一、选择题（每小题7分，共42分） 1、a，b，c为有理数，且等式a?b2?c3?5?26成立，则2a+999b+1001c的值是（ ） （A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定 2、若ab?1，且有5a2+2001a+9=0及9b2?2001b?5?0，则a的值 b是（ ） （A）9（B）5（C）?2001（D）?2001 5959 3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ） （A）2?3（B）2?3（C）0?3（D）3?2 4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情 况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ） （A）AD?BC?AB?BD （B）AB2?AD?AC （C）∠ABD=∠ACB （D）AB?BC?AC?BD 5、①在实数范围内，一元二次方程ax2?bx?c?0的根为 ?b?b2?4acx?2a；②在△ABC中，若AC2?BC2?AB2，则△ABC是锐 角三角形；③在△ABC和?A1B1C1中，a，b，c分别为△ABC的三边，a1,b1,c1分别为?A1B1C1的三边，若a?a1,b?b1,c?c1，则△ABC的面积S大于?A1B1C1的面积S1。以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A）0（B）1（C）2（D）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） （A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8 二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。 2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。 3、已知x,y是正整数，并且xy?x?y?23,x2y?xy2?120，则x2?y2= 。 4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。 三、 解答题（共70分） 1、 在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线y?ax?b上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求a,b的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分） 2、 （1）证明：若x取任意整数时，二次函数y?ax2?bx?c总取整数值， 那么2a,a?b,c都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分） 3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。（1）判断△ABD的外接圆与△AECF的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接A圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。 BDEC 选解题 1、 EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EGHD和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都A是锐角。已知EG=k，FH=l，四边形EFGHEθ的面积为S。 OG2S （1）求证：sinθ=； kl （2）试用k,l,S来表示正方形的面积。 BFC2、求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程x2?3ax?2b?0，x2?3bx?2c?0， x2?3cx?2a?0的所有的根都是正整数。 3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，EA为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为△ABC的外心。求 ODB证：（1）△AEF∽△ABC； （2）AO⊥EF C lPRSMN 4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。 求证：PM?PN＝PR?PS 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题 一、选择题（30分） 2n?4?2(2n)1、化简，得（ n?32(2)18 ） 78（A）2n?1? (B) ?2n?1 (C) 2、如果a,b,c是三个任意整数，那么 (D) （ ） 74a?bb?cc?a ,,222（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数 3、如果a,b是质数，且a2?13a?m?0,b2?13b?m?0,那么值为（ ） ba?的ab （A） 123 22 （B） 125或2 22 （C） 125 22 （D）1 123或2 222 4、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、 …… 下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 3 4 5、如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于 点D,且PB=4，PD=3，则AD?DC等于（ ） P C （A）6 （B）7 （C）12 （D）16 6、若a,b是正数，且满足12345?(111?a)(111?b)， 则a和b之间的大小关系是（ ） A D B （A）a?b （B）a?b （C）a?b （D）不能确定 二、填空题（30分） 7、已知：x?3?2,y?3?2。那么 3?23?2yx?? 22xy 8、若x2?xy?y?14,y2?xy?x?28,则x?y的值为 9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 10、销售某种商品，如果单价上涨m％，则售出的数量就将减少 m。为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值应该确150定为 11、在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M的横坐标x? 12、已知实数a,b满足a2?ab?b2值范围是 三、解答题（60分） 13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环） 14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。 求证： 1111?(?). PC2PAPBP ?1,且t?ab?a2?b2，那么t的取 S C O B A T 15、已知：关于x的方程 (a2?1)(实根。 （1） 求a取值范围； （2） 若原方程的两个实数根为x1,x2，且 x1x3?2?，求ax1?1x2?111x2x)?(2a?7)()?11?0有x?1x?1的值。 2000年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4月2日上午8:30----9:30） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、计算14?65?14?65,的值是（ ）。 （A）1；（B）5；（C）25；（D）5。 xy6x?15y4x2?5xy?6y22、若?的值是（ ）。 ?,，则23y2x?5yxx?2xy?3y2（A）9；（B）9；（C）5；（D）6。 24b2?1a2?13、设a,b是不相等的任意正数，又x?，则x,y,y?ab这两个数一定（ ）。 （A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。 4、正整数n小于100，并满足等式[n]?[n]?[n]?n，其中[x] 236表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有（ ）。 （A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。 5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。 （A）4；（B）6；（C）82；（D） 102。 36、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（ ）。 （A）10；（B）221；（C）122；（D）14。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、a,b是正数，并且抛物线y?x2?ax?2b和y?x2?2bx?a都与x轴有公共点，则a2?b2的最小值是________。 2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为_____元。 3、实数x,y满足x?y?1,和2x2?xy?5x?y?4?0，则x+y=________。 4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为x和t，则s2?t2?________。 第二试（4月2日上午10:30----11:30） 一、（本题满分20分）设p是实数，二次函数y?x2?2px?p的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0)。（1）求证： 22px1?x2?3p?0； （2）若A,B间的距离不超过|2P-3|，求P的最大值。 二、（本题满分25分）EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG＝k，FH＝l，四边形EFGH的面积为s。 （1）求证：sin??2s； kl（2）试用k,l,s表示正方形ABCD的面积。 三、（本题满分25分）设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。 2000年全国初中数学竞赛试题解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c的平均数为M，a,b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a>b>c，则M与P的大小关系是（ ）。 （A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原 路返回b千米（b 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。 （A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。 4、一个一次函数图象与直线y?595x?44平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。 （A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。 5、设a,b,c分别是△ABC的三边的长，且?aba?b，则它a?b?c的内角∠A、∠B的关系是（ ）。 （A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。 6、已知△ABC的三边长分别为a,b，c,面积为S，△A1B1C1 的三边长分别为a1,b1,c1,面积为S1，且 a?a1,b?b1,c?c1，则S与S1的大小关系一定是（ ）。 （A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。 二、填空题 7、已知：a?34?32?31，那么 331?2?3aaa＝________。 8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝62， ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。 9、已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。 11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y?11x?恰好将矩形32OABC分成面积相等的 两部分，那么b＝________。 12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。（注： 利润率=（销售价-进价）/进价） 三、解答题 13、设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程 x2?2(m?2)x?m2?3m?3?0有两个不相等的实数根x1,x2.（1）若 x1?x2?6，求 22m mxmx的值。（2）求1?2的最大值。 1?x11?x222 14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE,且BD＝23，求四边形ABCD的面积。 15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 1999年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 （4月4日上午8:30--9:30） 考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。 1、计算 11?43?11?43?21?3的值是（ ）。 （A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。 2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a,b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。 14、若函数y?(x2?100x?196?|x2?100x?196|)，则当自变量x 2取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001， AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P 的个数为（ ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若α.β是不相等的无理数，则 ???α-β是无理数；（乙）若α.β是不相等的无理数，则 ???是无???理数；（丙）若α.β是不相等的无理数，则??3?是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知1(b?c)24?(a?b)(c?a)且 a≠0， 则 b?c＝________。 a2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分 线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则 △ANM的最小角等于________。 3、已知a,b为整数，且 1a11?ab?1112(?)?， 11ab113??aba2b21b则a+b＝________。 4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。 第二试 （4月4日上午10:00--11:30） 一、（本题满分20分） 某班参加一次智力竞赛，共a,b,c三题， 每题或者得满分或者得0分。其中题a满分20分，题b、题c满分 分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对 的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b 的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？ 二、（本题满分25分）如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。 三、（本题满分25分）已知b,c为整数，方程5x2?bx?c?0的两根都大于－1且小于0，求b和c的值。 1999年全国初中数学竞赛试卷 第一试 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）． A．11 B．12 C．13 D．14 2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）． A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 3．已知?|a|?1，那么代数式?|a|?1的值为（ ）． 1a1a A．5 2B．－ 5 2 C．－ D． 4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）． A．30 B．36 C．72 D．125 5．如果抛物线 与x轴的交 点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 7．已知x?13?2,y?13?2，那么x2 + y2的值为 8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是 （0＜x＜10）． 9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么 2a?b2a?b的值为 ． 10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是 ． 11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 ． 12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两 台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台． 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分） 13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求 st?4s?1的值． t 14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长． 15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到： ． （1）（10分）证明：可以得到22； （2）（10分）证明：可以得到2100 + 297－2． 1998年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、 填空题 1.设m?5?1,那么m?2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米. 3.已知x3?x?1?0,那么代数式x3?2x?1的值是 . 4.已知m,n是有理数,并且方程x2?mx?n?0有一个根是5?2,那么m?n的值是 . 5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG= 厘米. 6.满足19982+m2=19972+n2(0?m?n?1998)的整数对(m,n),共有 个. 7.设平方数y2是11 个相继整数的平方和,则y的最小值是 . 8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知MP?BC,?BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米. 9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于点G,并且?ABF的面积为5平方厘米,?BCE的面积为14平方厘米, 1的整数部分是 m . 那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米. 10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人. 11.设(a,b)为实数,那么a2?ab?b2?a?2b的最小值是__________. 12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______. 13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________. 14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为 厘米. 15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I, r是S除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用x表示) 现有一本书的书号是962y707015,那么y= . 第二试 1. 求所有正实数a,使得方程x3?ax?4a?0仅有整数根. 2. 知P为?ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证: (1) P,Q,O三点在一条直线上; (2) PQ=2OQ. 3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除. 1998年全国初中数学竞赛试卷 第一试 一、选择题：（每小题6分，共30分）
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