___---------------- -------------在_________--------------------___此_号 生__考__ _ _ _ _ ___--------------------____卷___ _ _ _ ________________名_--------------------_姓_上_ _ _ _ _ _______--------------------___答___校学业毕--------------------题--------------------无--------------------效
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A??(x,y│)x2?y2?1?，B??(x,y│)y?x?，则AB中元素的个数( )
A.3
B.2
C.1 D.0 2.设复数z满足?1?i?z?2i，则z?
( ) A.
12 B.22 C.2 D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是
( )
A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.?x+y??2x?y?5的展开式中x3y3的系数为
( )
A.?80 B.?40 C.40
D.80
225.已知双曲线C:xya2?b2?1?a?0，b?0?的一条渐近线方程为y?52x,且与椭圆x2y212?3?1有公共焦点，则C的方程为
( )
数学试卷 第1页（共18页） x2y2A.x2y2x2y28?10?1 B.4?5?1 C.x2y25?4?1 D.4?3?1 6.设函数f?x??cos???x?π?3??，则下列结论错误的是
( )
A.f?x?的一个周期为?2π
B.f?x?的图像关于直线x=8π3对称 C.f?x?π?的一个零点为x?π6 D.f?x?在(
π2,π)单调递减 7.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
( )
A.π
B.
3π
C.
π4
D.
π24 9.等差数列?an?的首项为1，公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列，则?an?前6项的和为 ( ) A.?24
B.?3
C.3
D.8
C：x210.已知椭圆y2a2?b2?1?a?b?0?的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为
数学试卷 第2页（共18页）
直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
( )
A.613 B.33 C.23 D.3
11.已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a? ( )
A.?12
B.13
C.
12
D.1
12.在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
AP=?AB+?AD，则???的最大值为
( )
A.3
B.22
C.5
D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
?x?y?13.若x，y满足约束条件?0,?x?y?2?0,则z?3x?4y的最小值为 .
??y?0,14.设等比数列?an?满足a1?a2?–1,a1?a3??3，则a4= . 15.设函数f(x)???x?1,x?0,1x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是 ?2,x?0,2. 16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角； ②当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角； ③直线AB与a所成角的最小值为45?； ④直线AB与a所成角的最大值为60?.
其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，，bc，已知sinA?3cosA?0，a=27,b?2.
（1）求c；
数学试卷 第3页（共18页） （2）设D为BC边上一点，且AD?AC,求△ABD的面积. 18.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6
元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天
的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19.（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，
?ABD??CBD，AB?BD.
（1）证明：平面ACD?平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两
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部分，求二面角D–AE–C的余弦值. 20.（12分）
已知抛物线C：y2?2x，过点（2，0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，?2），求直线l与圆M的方程.
21.（12分）
已知函数f(x)?x?1?alnx. （1）若f(x)?0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，??1??1???1+2????1+22????1+1?2n??＜m，求m的最小值.
数学试卷 第5页（共18页）
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l?x?2+t,1的参数方程为?（?y?kt,t为参数），直线l2的参数方
?x??2?m,程为??（m为参数）.设l?1与l2的交点为P，当k变化时，P?y?m的轨迹为曲线k,C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
??cos??sin???2=0，M为l3与C的交点，求M的极径.
23.[选修4?5：不等式选讲]（10分） 已知函数f（）x?x?1?x?2. （1）求不等式f（）x?1的解集； （2）若不等式f（）x?x2–x ?m的解集非空，求m的取值范围.
数学试卷 第6页（共18页）
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 理科数学答案解析 1．【答案】B 【解析】A表示圆x2?y2?1上的点的集合，B表示直线y?x上的点的集合，直线y?x与圆x2?y2?1有两个交点，所以AB中元素的个数为2. 2.【答案】C 【解析】z?2i2i?1?i?1?i??1?i??1?i??i?1?i?，所以z?2. 3.【答案】A
【解析】根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都
是减少，所以A错误. 4．【答案】C
【解析】当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C3235?2x???y?，
当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C235?2x???y?2，所以
x3y3的系数为C2?23?C3?2255?10??8?4??40.
5．【答案】B
【解析】根据双曲线C的渐近线方程为y?52x，可知b5x2a?2 ①，又椭圆12?y23?1的焦点坐标为（3，0）和（?3，0）,所以a2?b2?9 ②，根据①②可知a2?4,b2?5,所以选B. 6．【答案】D
【解析】根据函数解析式可知函数f?x?的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为
?2π，A正确；当x?8π3,x?π3?3π，所以cos??π??x?3????1，所以B正确；
f?x?π??cos???x?π?π??4π?3???cos??x?3??，当x?π6时，x?4π3?3π2，所以f?x?π??0，所以C正确；函数f?x??cos??π?π2?x?3??在（2，3π）上单调递
减；（23π，π）上单调递增，故D不正确.所以选D.
数学试卷 第7页（共18页） 7．【答案】D 【
解
析
】
S?0?100?100，M??10，t?2,100＞91；S?100?10?90,M?1，t?3,90＜
91，输出S，此时，t?3不满足t?N，所以输入的正整数N的最小值为2，故选D. 8．【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r，则r2=12???1?233?2??=34，所以，圆柱的体积V=4π?1=4π，
故选B. 9．【答案】A
【解析】设等差数列an的公差为d，因为a2,a3,a6成等比数列，所以a22a6?a3，即
?a1?d??a1?5d???a1?2d?2，又a1?1，所以d2?2d?0，又d?0,则d??2，
所以a6?a1?5d??9，所以a1?9n的前6项的和S6?2?6??24，故选A. 10．【答案】A
以线段AA2y2?a212为直径的圆的方程为x?，由原点到直线bx?ay?2ab?0的距离
d?2ab?a，得a2?3b2b26b2?a2，所以C的离心率e?1?a2?3.
11．【答案】C
【解析】由f?x??x2?2x?a?ex?1?e?x?1?，得
f?2?x???2?x?2?2?2?x??a??e2?x?1?e??2?x??1???x2?4x?4?2x?a?e1?x?ex?1??x2?2x?a?e1?x，所以f?2?x??f?x?，即x?1为f?x?图像的对称轴.由题意f?x?有唯一零点，所以f?x?的零点只能为x?1，即f?1??12?2?1?a?e1?1?e?1?1??0，解得
a?12.故选C. 12．【答案】A
【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角
坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），可得直线BD的方程为2x?y?2?0，
数学试卷 第8页（共18页）
点C到直线BD的距离为212?22?25，圆C：?x?1?2??y?2?2?45，因为P在圆C上，所以P（1?255cos?，2?255sin?）AB?(1,0)，AD?(0,2)，AP??AB??AD?(?,2?)1?25cos，所以{5???2?255sin??2?????2?255cos??55sin??2?sin??????3，tan??2，选A.
13．【答案】?1
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l:3x?4y?0，平
移直线l，当直线z?3x?4y经过点A（1，1）时，z取得最小值，最小值为
3?4??1.
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14．【答案】?8
【解析】设等比数列
?an?的公比为q，则a1?a2?a1(1?q)??1，
a1?a3?a1(1?q2)??3，两式相除，得
1?q1?q2?13，解得q??2,a1?1，所以a4?a1q3??8.
（-115．【答案】
4，+?） 【解析】当x＞0，f(x)=2x＞1恒成立，当x?12＞0，即x＞12时，f(x?12)=2x?12＞1，当x?12?0，即0＜x?12时，f(x?12)=x?12＞12，则不等式f(x)?f(x?12)＞1恒成立.当x?0时，f(x)?f(x?12)?x?1?x?12?2x?32＞1，所以?14＜x?0.综上所述，x的取值范围是（?14，??）.
16．【答案】②③
【解析】由题意知，a,b,AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示
正方体的棱长为1，则AC?1,AB?2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，l为半径的圆.
数学试卷 第10页（共18页）
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