高中数学易错知识点总结 统计

乙的成绩的平均数为?? 乙=甲的方差??甲=

2

乙的方差??乙=

2

11

15

×(75+95+80+90+85)=85，

82?85 2+ 82?85 2+ 79?85 2+ 95?85 2+ 87?85 2]=31.6, ×[

5

75?85 2+ 95?85 2+ 80?85 2+ 90?85 2+ 85?85 2]=50. ×[5

（3）派甲参赛比较合理.

理由是甲,乙的平均分一样,证明平均成绩一样,而甲的方差小于乙的方差,则证明甲的成绩更稳定.

易错点8 忽略方差的统计意义

例8：甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t /km2):

品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8 若某村要从中引进一种冬小麦大量种植,给出你的建议. 【错解】由题意得??甲=

???乙

1

?

15

×(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,

=5×(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10,

甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10,所以引进两种冬小麦的任意一种都可以.

【错因分析】上述错误在于只对两种冬小麦的平均产量做了比较,而忽略了对冬小麦产量稳定性的讨论.

?

【试题解析】由题意得??甲?

1

=5×(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,

1

??乙=5×(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10,

2??甲=5×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]=0.02, 2??乙=5×[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244,

11

甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10,且??甲

所以产量比较稳定的为甲种冬小麦,推荐引进甲种冬小麦大量种植.

22

【方法点睛】平均数反映的是样本个体的平均水平,方差和标准差则反映了样本的波动、离散程度.对于形如“谁发挥更好、谁更稳定、谁更优秀”之类的题目,除比较数据的平均值外,还应该比较方差或标准差的大小,以作出更为公正、合理的判断.

【参考答案】推荐引进甲种冬小麦大量种植.

特别提醒

用样本估计总体时,样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况.

易错点击

1．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述.

2．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”.

3．数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感.一般情况下,极差大,则数据波动性大;极差小,则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值,便于计算,但没有考虑中间的数据,可靠性较差.方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．

即时巩固

8．3月是植树造林的最佳季节,某公园打算在3.12植树节前后引种一批名优树种.现有甲、乙两家苗木场各送来一批同种树苗,该公园园林部从中分别抽取100棵测量其高度,得到如下频率分布表:

高度(cm) 频率 甲苗木场 乙苗木场 [60,70) 0.18 0.20 [70,80) 0.24 0.30 [80,90) 0.26 0.30 [90,100] 0.32 0.20 （1）分别算出甲、乙两家苗木场树苗样本高度的平均值??甲,??乙; 22（2）根据样本数据可算得两个方差:??甲=120.16,??乙=105.0,结合（1）中算出的数据,如果你是该公园园林部主管,你将选择哪家苗木场的树苗?说明你的观点. 【答案】（1）??甲=82.2，??乙=80.0；（2）见解析.

特别提醒

一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.

易错点9 运用数字特征作评价时考虑不周

例9：一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下:

分数 甲组 人数 乙组 4 4 16 2 12 12 50 2 60 5 70 10 80 13 90 14 100 6 经计算,已知两个组的平均分都是80分,请根据所学过的统计知识,进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀,并说明理由.

【错解】由于乙组90分以上的人数比甲组90分以上的人数多,所以乙组更优秀.

【错因分析】对一组数据进行分析的时候,应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度进行判断. 【试题解析】(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数这一角度看,甲组成绩好些.

2(2)??甲=

2

1

2+5+10+13+14+6

×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172.

同理??乙=256.

22因为??甲

(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分,其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人,从这一角度看,甲组成绩总体较好.

(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的有20人,乙组成绩大于或等于90分的有24人,所以乙组成绩在高分段的人数多.同时,乙组满分比甲组多6人,从这一角度看,乙组成绩较好.

【参考答案】见解析.

易错点击 1．平均数受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大,因此若在数据中存在少量极端数据时,平均数对总体估计的可靠性较差,往往用众数或中位数去估计总体.有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体. 2．运用数字特征进行评价时,要全面考虑各数字特征的优缺点,从不同层面或两两综合进行评价,才能得到较为可靠的估计. 即时巩固 9．小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96,98,95,93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？ 【答案】优秀. 特别提醒 这5次数学考试的平均分是96＋98＋95＋93＋45＝85.4，则按平均分给小明的评价是“良好”． 这种评5价是不合理的，尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征，但任何一个数据的改变都会引起它的变化，而中位数则不受某些极端值的影响． 本题中的5个成绩从小到大排列为：45,93,95,96,98，中位数是95，较为合理地反映了小明的数学水平，因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩． ?，b?的位置 易错点10 弄错回归方程中a 例10：某班5名学生的数学和物理成绩如下表： （1）画出散点图. （2）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程.