十年高考北京卷理科数学分类汇编 - 立体几何

十年高考北京卷理科数学分类汇编------立体几何

ABCD成60°角，则AC1.(2009) 若正四棱柱ABCD?A1BC11D1的底面边长为1，AB1与底面11

到底面ABCD的距离为 （ ）D A．

3 B．1 3C．2 D．3 【答案】D

【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、

直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）

属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，?B1AB?60?，如图，

BB1?1?tan60??3，故选D.

2.(2009) 如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC,PA?AB,?ABC?60?,?BCA?90?，

点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BCw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅰ）求证：BC?平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角？并说明理由.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又?BCA?90，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴DE??1BC， 2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD?1AB， 21AB. 2?∴在Rt△ABC中，?ABC?60，∴BC?1

∴在Rt△ADE中，sin?DAE?DEBC2， ??AD2AD42. 4∴AD与平面PAC所成的角的大小arcsin（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角A?DE?P的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴?PAC?90?.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时?AEP?90?， 故存在点E使得二面角A?DE?P是直二面角.

【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系A?xyz， 设PA?a，由已知可得

?1???33 A?0,0,0?,B??a,a,0??2?,C??0,2a,0??,P?0,0,a?. 2???? （Ⅰ）∵AP??0,0,a?,BC???1?a,0,0?，?2?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴BC?AP?0，∴BC⊥AP.

又∵?BCA?90，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴D????131??31?a,a,a,E0,a,a?， ???4???42??42??∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵AD????1?31?31?a,a,a,AE?0,a,a?， ???4???42?2???4∴cos?DAE?AD?AEAD?AE?14. 414. 4∴AD与平面PAC所成的角的大小arccos（Ⅲ）同解法1.

2

3.（2009）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何

体的俯视图为（ ）C

A． B．

C． D．

【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】立体几何．

【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，

由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项． 故选：C．

【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．

4.（2010）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱

AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）

A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】立体几何． 【分析】四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．

【解答】解：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的， 而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化． 故选D．

【点评】本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题．

5.（2010））如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=

CE=EF=1．

3

，

（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形?EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；

（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出=0，就可以得到CF⊥平面BDE （Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=0和?

=（

，

?=0和?

，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量?

=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE﹣D的大小．

【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G， 因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，

所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG． 因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE．

（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC， 所以CE⊥平面ABCD．

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz． 则C（0，0，0），A（所以所以

=（?

，

，

，0），D（=（0，﹣?

，0，0），E（0，0，1），F（，1），

=（﹣

，0，1）．

，

，1）．

，1），

=0﹣1+1=0，=﹣1+0+1=0．

所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE （III）由（II）知，

=（

，

，1），是平面BDE的一个法向量，

=0，?

=0．

设平面ABE的法向量=（x，y，z），则?即

4