2020届河南省高三上学年期末数学(文)试题(解析版)

本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.

?x??1?2cos?22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数）.以坐

?y?2sin?标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P的直角坐标为??2,0?，过

P的直线l与曲线C相交于M，N两点.

（1）若l的斜率为2，求l的极坐标方程和曲线C的普通方程；

uuuuruuur（2）求PM?PN的值.

【答案】（1）l：2?cos???sin??4?0，C：?x?1??y2?4；（2）?3 【解析】（1）根据点斜式写出直线l的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用

2sin2φ?cos2φ?1，将曲线C的参数方程转化为普通方程.

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得PM?PN的值. 【详解】

（1）l的直角坐标方程为y?2?x?2?，即2x?y?4?0， 则l的极坐标方程为2?cos???sin??4?0. 曲线C的普通方程为?x?1??y2?4.

2uuuuruuur?x??2?tcos?（2）直线l的参数方程为?（t为参数，?为l的倾斜角），

y?tsin??代入曲线C的普通方程，得t2?2tcos??3?0.

设M，N对应的参数分别为t1，t2，所以t1?t2??3，M,N在P??2,0?的两侧.则

uuuuruuuruuuuruuurPM?PN?PM?PN?cosπ??t1t2??3.

【点睛】

本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.

23．已知函数f?x??2x?1?2x?1，记不等式f?x??4的解集为M. （1）求M；

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（2）设a,b?M，证明：ab?a?b?1?0. 【答案】（1）?x|?1?x?1?；（2）证明见解析

【解析】（1）利用零点分段法将f?x?表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M.

（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立. 【详解】

1??4x,x???2?11?（1）解：f?x???2,??x?，

22?1?4x,x??2?由f?x??4，解得?1?x?1， 故M??x|?1?x?1?.

（2）证明：因为a,b?M，所以a?1，b?1， 所以ab?a?b?1?a?1所以ab?a?b?1?0. 【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.

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