解析几何大题专练
解析几何大题参考答案： 1．（共13分）
（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F(0,)的距离与动点P到直线y??141的距离相等． 4 由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以(0,)为焦点，直线y??的抛物线．
所以曲线C的方程为y?x2． ………………3分
（Ⅱ）证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)．
141为准线4?y?x2,2由?得x?kx?1?0． ?y?kx?1, 所以x1?x2?k，x1x2??1． 设M(x0,y0)，则x0? 因为MN?x轴， 所以N点的横坐标为
k． 2k． 2 由y?x2，可得y'?2x 所以当x?k时，y'?k． 2 所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．………………8分
（Ⅲ）解：由已知，k?0．
设直线l的垂线为l'：y?? 代入y?x2，可得x?21x?b． k1x?b?0 （*） k 若存在两点D(x3,y3),E(x4,y4)关于直线l对称，
则
x3?x4y?y411???2?b ，322k22kx3?x4y3?y4,)在l上， 221111?b?k(?)?1b??， ． 2k22k22k2又(所以
13
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由方程（*）有两个不等实根 所以??()?4b?0，即
1k212?2??0 22kk所以
122?2，解得或． ………………13分 k??k?k2222.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6?42，
所以2a?2c?6?42， ……………1分 又椭圆的离心率为分
所以a?3，c?22. ………………4分
c222222，即?，所以c?a， ………………2
a333x2?y2?1. ………………5所以b?1，椭圆M的方程为9分
（Ⅱ）方法一：不妨设BC的方程y?n(x?3),(n?0)，则AC的方程为y??1(x?3). n?y?n(x?3),1?2222(?n)x?6nx?9n?1?0， ………………6由?x2得29??y?1?9分
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
81n2?927n2?3因为3x2?，所以x2?， ………………7229n?19n?1分
27?3n2同理可得x1?， ………………829?n分
1?n26n2所以|BC|?1?n，|AC|?， ………………10229n?1n9?n26分
14
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S?ABC分
12(n?)1n， ………………12?|BC||AC|?1642(n?)2?n91?2， n2t23则S???， ………………13分
64648t2?t?99t8当且仅当t?时取等号，
33所以?ABC面积的最大值为. ………………14分
8设t?n?方法二：不妨设直线AB的方程x?ky?m.
?x?ky?m,?222由?x2 消去得(k?9)y?2kmy?m?9?0， ………………6x2??y?1,?9分
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
2kmm2?9则有y1?y2??2，y1y2?2. ① ………………7
k?9k?9分
????????因为以AB为直径的圆过点C，所以 CA?CB?0.
????????由 CA?(x1?3,y1),CB?(x2?3,y2)，
得 (x1?3)(x2?3)?y1y2?0. ………………8
分
将x1?ky1?m,x2?ky2?m代入上式，
得 (k2?1)y1y2?k(m?3)(y1?y2)?(m?3)2?0. 将 ① 代入上式，解得 m?分
12或m?3（舍）. ………………1051212（此时直线AB经过定点D(,0)，与椭圆有两个交点）， 551所以S?ABC?|DC||y1?y2|
2所以m? 15
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13925(k2?9)?1442. ……………12分 ??(y1?y2)?4y1y2?25525(k2?9)2设t?11,0?t?， 2k?99则S?ABC?所以当t?91442??t?t. 5252513?(0,]时，S?ABC取得最大值. ……………14分 288983．(共13分）
解：（I）由题意可得OP?OM， ……………………………2分 所
以
?????????O??0P，
O即
M(x2?? ,yx………………………………4分
2即x?4y?0，即动点P的轨迹W的方程为x?4y ……………5分 （II）设直线l的方程为y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则A'(?x1,y1). 由
?y?kx?4?2?x?4y消
y整理得
x2?4kx?16?0， ………………………………6分
则
??16k2?64?0，即
|k?. ………………………………7分
x1?x2?4k,x1x2?16. ……………………………
……9分
直线A'B:y?y2?y2?y1(x?x2)
x2?x1 16
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