21. 在直角坐标系xOy中，椭圆C：
个顶点为．
（1）求椭圆C的方程；
的离心率为，椭圆短轴上的一
（2）已知点P（1，），动直线y=kx-2与椭圆C相交于A、B两点，若直线AP，BP的斜率均存在，求证：直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列． 【答案】解：（1）由
，解得a=2，
则椭圆C的方程；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由
22
得（3+4k）x-16kx+4=0，由△＞0，有
，
，
则，，
==
，
则kAP+kBP=2kOP，
故直线AP，OP，BP的斜率成等差数列. 【解析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆短轴上的一个顶点为（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由
，求解椭圆方程；
，利用韦达定理求解直线的斜
率，然后推出kAP+kBP=2kOP，得到结果即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
2x
22. 设函数f（x）=xe．
（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）若f（x）＜ax对x∈（-∞，0）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）-在区间（n-1，n）上有零点． 【答案】解：（1）∵f′（x）=（x+2x）e， ∴f′（1）=3e，
∴所求切线方程为y-e=3e（x-1），即y=3ex-2e； （2）∵f（x）＜ax，对x∈（-∞，0）恒成立，∴设g（x）=xe，g'（x）=（x+1）e，
令g'（x）＞0，得x＞-1，令g'（x）＜0得x＜-1， ∴g（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，0）上递增， ∴
，
x
x2
x
对x∈（-∞，0）恒成立．
∴；
，当x＜0时，
，
（3）令F（x）=0，得
∴F（x）的零点只能在（0，+∞）上，
在（0，+∞）上大于0恒成立，∴函数F（x）在（0，+∞）上递
增．
∴F（x）在（0，+∞）上最多有一个零点． ∵
，
，
由零点存在的条件可得F（x）在（0，+∞）上有一个零点x0，且
∴n=1．
【解析】（1）求出原函数的导函数，求得f′（1），再由直线方程的点斜式求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）把f（x）＜ax，对x∈（-∞，0）恒成立，转化为
x
x
对x∈（-∞，0）恒成
立．设g（x）=xe，g'（x）=（x+1）e，利用导数求其最小值，即可求得实数a的取值范围；
（3）令F（x）=0，得
，当x＜0时，不合题意，可知F（x）的零点只能在（0，
+∞）上，利用导数研究其单调性，再由函数零点的判定求得答案． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．
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