初二数学竞赛试题
一、选择题(共5题,每小题6分,共30分) 1.已知实数a满足2009?a?a?2010?a,那么a-20092的值是( )
A 2008 B 2009 C 2010 D 2011 2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(a,b)Δ果对任意实数a,b都有(a,b)Δ
(c,d)?(ac?bd,ad?bc).如
(x,y)?(a,b),则(x,y)为( )
(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(?1,0) (D)(0,?1)
3.设ΔABC的三边长为a,b,c满足b?c?8,bc?a2?12a?52,则ΔABC的周长是( )
(A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定 4.AD与BE是△ABC的角平分线,D,E分别在BC,AC上,若AD=AB,BE=BC,则∠C=( ) (A) 69° (B)
(6239)0BDAEC (C)
(90013)0 (D)不能确定
5.△ABC所在平面上的点P,使得△ABP,△BCP,△ACP的面积相等,这样的点P的个数有( )
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 二、填空题(共5题,每小题8分,共40分) 6.如图, ∠AOB=30O, ∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若ΔPQR周长最小,则最小周长是 .
第6题图
7.数学上,为了简便,把1到n的连续n个自然数的乘积记作:n!,
即n!=1×2×3×……×(n-1)×n,将上述n个自然数的和记作?k,k?1n即?k?1?2?3???n,则2010!?2009!k?1n2010?i??i的值等于________.
i?1i?120118.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥CB,交AC于点E,交AB于点F,从点F D A E O 第8题图 C O作OD⊥AB于D,OD=m,若CE+FB+CB=n,则梯形EFBC的面积等于 ;若AE+AF=n,则△AEF的面积等于 。(用m,n表示) 9.如图,把?ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形
BB 1A2EBCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请找一找这个规律,你发现的规律是___________________.
CD(第11题)第9题图 10.现有8根木棒,它们分别是1,2,3,4,5,6,7,8,若从8根木棒中抽取3根拼三角形,要求三角形的最长边为8,另两边之差大于2(以上单位:厘米),那么可以拼成不同三角形的种数为______种. 三、解答题(共两小题,每题15分,共30分)
11.已知a,b,c为整数,且a+b=2010,c-a=2009.若a<b,求a+b+c的最大值。
12、已知:如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE。 求证:AC-AB=2BE A 24参考答案: B1M1 1 1 1 35EC1
1.C 2.B 3.B 4. C 5.A 6.10 7.-1 8.
12mn,12mn 9.?1??2?2?A 10.4
11. 解:∵ a+b=2010,c-a=2009
∴b+c=4019 ∴a+b+c= a+4019
∵a+b=2010, a,b为整数, a<b
∴a最大值=1004,∴a+b+c最大值=1004+4019=5023.
12.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE。 求证:AC-AB=2BE 证明:延长BE交AC于M ∵BE⊥AE, ∴∠AEB=∠AEM=90° 在△ABE中,∵∠1+∠3+∠AEB=180°, ∴∠3=90°-∠1 同理,∠4=90°-∠2 ∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴AB=AM ∵BE⊥AE,∴BM=2BE,∴AC-AB=AC-AM=CM ∵∠4是△BCM的外角,∴∠4=∠5+∠C ∵∠ABC=3∠C,∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5 ∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
∴∠5=∠C ∴CM=BM ∴AC-AB=BM=2BE
B35A124MEC
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