初二数学竞赛试题
一、选择题（共5题，每小题6分，共30分） 1.已知实数a满足2009?a?a?2010?a，那么a-20092的值是（ ）
A 2008 B 2009 C 2010 D 2011 2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(a,b)Δ果对任意实数a,b都有(a,b)Δ
(c,d)?(ac?bd,ad?bc).如
(x,y)?(a,b),则(x,y)为( )
(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(?1,0) (D)(0,?1)
3.设ΔABC的三边长为a,b,c满足b?c?8,bc?a2?12a?52,则ΔABC的周长是( )
(A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定 4．AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（ ） （A） 69° （B）
(6239)0BDAEC （C）
(90013)0 （D）不能确定
5.△ABC所在平面上的点P，使得△ABP,△BCP,△ACP的面积相等，这样的点P的个数有（ ）
（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1 二、填空题（共5题，每小题8分，共40分） 6.如图, ∠AOB=30O, ∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若ΔPQR周长最小,则最小周长是 .
第6题图
7.数学上，为了简便，把1到n的连续n个自然数的乘积记作：n!，
即n!=1×2×3×……×(n－1)×n,将上述n个自然数的和记作?k,k?1n即?k?1?2?3???n,则2010！?2009！k?1n2010?i??i的值等于________.
i?1i?120118.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥CB，交AC于点E，交AB于点F，从点F D A E O 第8题图 C O作OD⊥AB于D，OD=m，若CE+FB+CB=n，则梯形EFBC的面积等于 ；若AE+AF=n，则△AEF的面积等于 。（用m，n表示） 9.如图,把?ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形
BB 1A2EBCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是___________________.
CD（第11题）第9题图 10.现有8根木棒,它们分别是1,2,3,4,5,6,7,8,若从8根木棒中抽取3根拼三角形,要求三角形的最长边为8,另两边之差大于2(以上单位:厘米),那么可以拼成不同三角形的种数为______种. 三、解答题（共两小题，每题15分，共30分）
11.已知a,b,c为整数，且a+b=2010,c-a=2009.若a＜b,求a+b+c的最大值。
12、已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE。 求证：AC－AB＝2BE A 24参考答案： B1M1 1 1 1 35EC1
1.C 2.B 3.B 4. C 5.A 6.10 7.-1 8.
12mn,12mn 9.?1??2?2?A 10.4
11. 解：∵ a+b=2010,c-a=2009
∴b+c=4019 ∴a+b+c= a+4019
∵a+b=2010, a,b为整数, a＜b
∴a最大值=1004，∴a+b+c最大值=1004+4019=5023.
12.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE。 求证：AC－AB＝2BE 证明：延长BE交AC于M ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° 在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°， ∴∠3＝90°－∠1 同理，∠4＝90°－∠2 ∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM ∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC－AB＝AC－AM＝CM ∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C ∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5 ∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C
∴∠5＝∠C ∴CM＝BM ∴AC－AB＝BM＝2BE
B35A124MEC
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