与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线
EPFHQFA探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由. A
M【答案】解：情境观察
NAD（或A′D），90 。 BGCBGC图3 问题探究 图4
GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试
E结论：EP＝FQ。证明如下：
∵△ABE是等腰三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°。 ∴∠BAG+∠EAP＝90°。
∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG＝90°。∴∠ABG＝∠EAP。
∵EP⊥AG，∴∠AGB＝∠EPA=90°。∴Rt△ABG≌Rt△EAP（AAS）。∴AG=EP。 同理AG＝FQ.。∴EP＝FQ.。 拓展延伸
结论： HE＝HF。理由如下：
过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q。 ∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE＝90°。
∴∠BAG+∠EAP＝90°，AG⊥BC。∴∠BAG+∠ABG＝90°。 ∴∠ABG＝∠EAP。
AGAB
∵∠AGB＝∠EPA＝90°，∴△ABG∽△EAP。∴ ＝ 。
EPEAAGAC
同理△ACG∽△FAQ，∴ ＝ 。
FPFA∵AB＝ k AE，AC＝ k AF，∴
ABACAGAG
＝ ＝ k。∴ ＝ 。∴EP＝FQ。 EAFAEPFP
BGCMNEPHQAF∵∠EHP＝∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）。∴HE＝HF 。
【考点】拼图，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角关系，等量代换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】情境观察：易见与BC相等的线段是AD，它们是矩形的对边。 ∠C′AC＝1800－∠C′AD－∠C′AB＝1800－900＝900。
问题探究：找一个可能与EP和FQ都相等的线段AG。考虑Rt△ABG≌Rt△EAP，这用AAS易
证，得出EP=AG。同样考虑Rt△ACG≌Rt△FAQ，得出FQ=AG。从而得证。
拓展延伸：与问题探究相仿，只不过将全等改为相似，证出FQ=AG。再证Rt△EPH≌Rt△FQH，从而得证。
12.（淮安8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2.求证：△ABE≌△CDF.
【答案】证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝DC。
又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。
【分析】利用平行四边形的性质和∠1＝∠2的条件可以用ASA证明两三角形全等。
13.（淮安10分）图1为平地上一幢建筑物与铁塔图，图2为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD＝30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度. 【答案】解：如图，设过点A的水平线AE与CD交于点E，
由题意得
∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°，AE＝BD＝30m， ∴CD＝CE＋DE＝AE·tan60°＋AE·tan45°＝303＋
30(m)。
答：铁塔CD的高度为(303＋30)m。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），特殊角三角函数，矩形的判定和性质。
【分析】要求CD的长度，就要把它分解成两段，使它们成为两个直角三角形中的线段，所以作辅助线过点A的水平线AE，得到两个直角三角形ACE和ADE。这两个直角三角形的AE边与已知的BD是矩形的对边，是相等的。从而在这两个直角三角形分别应用特殊角的三角函数求解即可。 14.（宿迁10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角 仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了 100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，
A1.530?100B45?EDC
请你计算出该建筑物的高度．（取3＝1.732，结果精确到1m） 【答案】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m。 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝CE，即tan30°＝x
x?100AE∴
x3，3x＝3(x＋100) ?x?1003解得x＝50＋503＝136.6（检验合格） ∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m。 【考点】解直角三角形，解分式方程。
【分析】因为CE＝BE则易在Rt△AEC中求解。 15.（连云港6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【答案】解：不重叠的两部分全等。理由如下：
∵三角形纸板ABC和DEF完全相同，∴AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D。 ∴AB－BF＝BD－CD，即AF＝CD。∴△AOF≌△DOC（AAS）
【考点】全等三角形的判定。
【分析】根据全等三角形AAS的判定定理，得出结果。
16.（连云港10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向． （1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由； （2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°＝0.75） 【答案】解：（1）相等。
由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，
∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°。∴∠PBQ＝∠BPQ。∴BQ＝PQ。
（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．
PQ1200
在Rt△APQ中，AQ＝ ＝ ＝1600（m）。
0.75cos∠AQP又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，
∴Rt△AQB中，AB＝AQ2＋BQ2 ＝16002＋12002 ＝2000（m）。 答：A，B间的距离是2000 m。
【考点】等腰三角形的判定，用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理。
【分析】（1）由已知可求出∠PBQ＝∠BPQ，从而根据等腰三角形等角对等边的判定，得到BQ＝PQ。 （2）要求A，B间的距离，就要把AB放到一个直角三角形里，由已知可求∠AQB为直角。BQ易证等于PQ＝1200 m（已知）。AQ可由解Rt△APQ求得。从而应用勾股定理求得AB。
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