1．[2015·山西质监]已知动点Q与两定点(－2，0)，(2，0)连线1
的斜率的乘积为－2，点Q形成的轨迹为M.
(1)求轨迹M的方程；
→＝3P→(2)过点P(－2,0)的直线l交M于A，B两点，且PBA，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值．
解 (1)设Q(x，y)，则
yy1
·＝－2(x≠±2)， x＋2x－2
x22
化简得轨迹M的方程为2＋y＝1(x≠±2)．
(2)由(1)知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my－2， 代入椭圆方程得(m2＋2)y2－4my＋2＝0， Δ＝8(m2－2)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4m2
则y1＋y2＝2，①y1y2＝2.②
m＋2m＋2→＝3P→由PBA得，y2＝3y1.③
由①②③可得m2＝4.经检验，满足Δ>0.
不妨取m＝2，设直线CD的方程为x＝2y＋n，代入椭圆方程得6y2
＋4ny＋n2－2＝0，Δ＝8(6－n2)，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)， n2－22
则y3＋y4＝－3n，y3y4＝6， 又由已知及Δ>0，可得2 又|x3－x4|＝2|y3－y4|＝， 3 1222226222 则S四边形CEFD＝2|y3＋y4||x3－x4|＝9n?6－n?≤9×2＝3， 当且仅当n2＝3时等号成立． 22 所以四边形CEFD面积的最大值为3. 2．[2015·江西师大附中、鹰潭一中联考]已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，42切点为M，N，|MN|＝3. 点击观看解答视频 (1)求抛物线E的方程； →·→(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且OAOB9 ＝4(其中O为坐标原点)． ①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标； ②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值． ?p? 解 (1)由已知得K?－2，0?，C(2,0)． ?? 22 设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝3. 1 于是|CR|＝|MC|－|MR|＝3， 2 2 |MC||MC|p 所以|CK|＝＝＝3，即2＋2＝3，p＝2，故抛物 sin∠MKCsin∠CMR线E的方程为y2＝4x. 2?y1??y2?2(2)①证明：设直线AB的方程为x＝my＋t，A?4，y1?、B?4，y2?， ????2??y＝4x 联立?得y2－4my－4t＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t. ?x＝my＋t? 9?y1y2?29→→由OA·OB＝4得：16＋y1y2＝4?y1y2＝－18或y1y2＝2(舍去)， ?9?9 即－4t＝－18?t＝2，所以直线AB过定点Q?2，0?； ? ? ②由①得|AB|＝1＋m2|y2－y1|＝1＋m2·16m2＋72， 同理得，|GD|＝ ?1? 1＋?－m?2|y2－y1|＝? ? 1161＋m2·m2＋72， 11 则四边形AGBD面积S＝2|AB|·|GD|＝21＋m2·16m2＋7211＋m2＝42 16 m2＋72 1???1????? ?2＋?m2＋2??·?85＋18?m2＋2?? m???m????? 1 令m＋m2＝μ(μ≥2)，则S＝418μ2＋121μ＋170是关于μ的增函数， 故Smin＝88.当且仅当m＝±1时取到最小值88. x2y2 3．[2015·洛阳统考]设M是焦距为2的椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为1k1，k2，且k1k2＝－2. (1)求椭圆E的方程； x2y2x0x (2)已知椭圆E：y0)处切线方程为a2＋a2＋b2＝1(a>b>0)上点N(x0，y0y b2＝1.若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别 为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标． 解 (1)由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)，设M(x，y)， 1yy1y21 ∵k1k2＝－2，∴·＝－2，即2＝－2. x＋ax－ax－a2x2y2 ∵M(x，y)在椭圆E上，∴a2＋b2＝1， 1b2122 ∴22＝－2，∴a2＝2，∴a＝2b. x－a又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝2，b2＝1. x22 ∴椭圆E的方程为2＋y＝1. (2)证明：设切点坐标为C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)， x1xx2x 则切线方程分别为2＋y1y＝1，2＋y2y＝1. ∵两切线均过点P， 2x12x2∴2＋ty1＝1，2＋ty2＝1，即x1＋ty1＝1，x2＋ty2＝1， ∴直线CD的方程为x＋ty＝1. 对于任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1,0)． 4．[2015·大连双基测试]已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q. (1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值； (2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直→·→＝2，求抛物线C的方程． 线l2于M，N两点，OMON 解 (1)设直线l1的方程为：x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)． ??x＝my＋2联立方程?2，得y2－2pmy－4p＝0，y1＋y2＝2pm，y1·y2 ??y＝2px 2x?? b2?1－a2??? ＝－4p.
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