专题二 立体几何
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析 常考点 空间几何体的表面积与体积(5年3考) 大题考情分析 本专题在高考大题中的考查非常稳定，主要是线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明，一般第偶考点 简单几何体与球的切接问题 (1)问是线面平行的证明，第(2)问是线线垂直或面面垂直的证明，考查形式单一，难度一般. 第一讲 小题考法——立体几何中的计算
考点(一) 空间几何体的表面积与体积 主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面积与体积. [题组练透] 1．现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm.
解析：因为圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，所以圆锥的高为5－3＝4 cm，其14233
体积为π×3×4＝12π cm，设铁球的半径为r，则πr＝12π，所以该铁球的半径是
3339 cm. 3答案：9
2．(2018·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________．
解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为积为S＝cl＝4×2×22＝162.
答案：162
3.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
解析：由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的
3
2
22 －2＝22，所以该直四棱柱的侧面
2
142
体积为2V正四棱锥＝2××(2)×1＝. 33
4
答案： 3
4．(2018·南通、泰州一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为93 cm.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．
解析：由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6×603 cm，设所求正三棱柱的底面边长为x cm，则有以所求边长为210 cm.
答案：210
5．设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等
3
2
32
×4×4－93×4＝4
32
x·6＝603，解得x＝210，所4
V13S1
且＝，则的值是________． V22S2
解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，
V1πr2V1r1r131h1
又＝2，∴＝，∴＝， V2πr2h2V2r2r22S1πr291
则＝2＝. S2πr24
9答案： 4
[方法技巧]
求几何体的表面积及体积的解题技巧
(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．
考点(二) 简单几何体与球的切接问题 主要考查简单几何体与球切接时的表面积、体积的计算问题，以及将空间几何体的问题转化为平面几何图形的关系的能力. [题组练透]
1．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱
V1V2
V1πR2·2R3
的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.
V2423
πR3
3答案： 2
2．(2018·无锡期末)直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，BB1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
解析：根据条件可知该直三棱柱的外接球就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，52222222
设其半径为R，则2R＝BA＋BC＋BB1＝3＋4＋5，得R＝，故该球的表面积为S＝
24πR＝50π.
答案：50π
3．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝3，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于点E，则棱锥E-ABCD的体积为________．
解析：如图所示，BE过球心O， ∴BE＝4，BD＝3＋∴DE＝ 4－
2
2
2
3
2
2
＝23，
3＝2，
1
∴VE-ABCD＝×3×3×2＝23.
3答案：23
4．(2018·全国卷Ⅲ改编)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为________.
解析：由等边△ABC的面积为93，可得外接圆的半径为r＝
32
AB＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的4
3
AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为3
d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×93×6＝183.
答案：183
[方法技巧]
简单几何体与球切接问题的解题技巧
方法 解读 解答时首先要找准切点，通过截面法 作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 首先确定球心位置，借助外接构造 直角 三角 形法 的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径 因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几补形法 何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解 考点(三) 平面图形的翻折与空间图形的展开问题 [典例感悟]
主要考查空间图形与平面图形之间的转化，面积、体积以及最值 问题的求解. 三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等 正棱锥、正棱柱的外接球 球内切多面体或旋转体 适合题型 13
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