32π.
答案：32π
2．棱长为a的正四面体的内切球半径r＝高h＝
613a，故r＝h，R＝h. 344
66
a，外接球的半径R＝a.又正四面体的124
[针对练2] 正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为________．
解析：由题意知，面积最小的截面是以AB为直径的圆，设AB的长为a， 因为正四面体外接球的半径为2， 所以646
a＝2，解得a＝， 43
故截面面积的最小值为π?8π答案： 3
?26?28π
?＝3. ?3?
3．认识球与正方体组合的3种特殊截面：
一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．
[课时达标训练]
A组——抓牢中档小题
1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ________. 解析：由题意，得圆锥的母线长l＝1＋2＝5，所以S5π.
答案：5π
2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm，高为6 cm，那么它的体积为________cm. 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其体积V＝
323×2×6×6＝363cm. 4
答案：363
2
3
22圆锥侧
＝πrl＝π×1×5＝
3．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为
32
R，AB＝AC＝BC＝23，则球O的表面积为________．
解析：设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，因为AB＝AC＝BC＝23，所以△ABC为23222
正三角形，其外接圆的半径r＝＝2，因为OO1⊥平面ABC，所以OA＝OO1＋r，即
2sin 60°
R2＝?
?3?2222
R?＋2，解得R＝16，所以球O的表面积为4πR＝64π. ?2?
答案：64π
4. 已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢
球，则球心到盒底的距离为________cm.
解析：球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为5－3＝4，所以球心到盒底的距离为4＋6＝10(cm)．
答案：10
2π
5．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形，则此
3圆锥的体积为________．
12π2
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则由··l＝3π，得l＝3，又
232π122222
由·l＝2πr，得r＝1，从而有h＝l－r＝22，所以V＝·πr·h＝π. 333
22答案：π
3
6. 一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm.
3
2
2
解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面高为5 cm，则正四棱锥的高为
答案：48
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个
1?6?2223
5－??＝4 cm，所以所求容积V＝×6×4＝48 cm.
3?2?
球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为3. 3
设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，
2434π279π
所以这个球的体积为πR＝×＝. 33829π
答案： 2
8．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的
V13S1
体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．
V2πS2
1V13a332
解析：由题意知，V1＝a，S1＝6a，V2＝πr，S2＝2πr，由＝，即＝，
3V2π13π
πr3
3
2
2
S16a632
得a＝r，从而＝＝＝. 2
S2π2πr2π
3
32
答案：
π
9．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．
解析：设B，C，D三点重合于点P，得到如图所示的四面体P-AEF.因为AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以V四面体P-AEF1111
＝V四面体A-PEF＝·S△PEF·AP＝××1×1×2＝. 3323
1
答案： 3
10．(2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．
12
解析：设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1＝πr1h1；大圆锥的高为h312πr1h1
12r1h1V13?h1?31
＝6，底面半径为r，体积为V＝πrh＝8.依题意有＝，V1＝1，＝＝??＝，3rhV12?h?8
πrh31
得h1＝h＝3，所以圆台的高为h－h1＝3.
2
答案：3
11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝
90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．
解析：连结A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结
A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．
因为A1C1＝6，A1B＝210，BC1＝2，所以A1C1＋BC1＝A1B，所以∠
2
2
2
A1C1B＝90°.
又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C＝A1C1
＋CC1－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝36＋2－2×6×2×?－2
2
2
??2?
?＝50，所以A1C＝52，即CP＋2?
PA1的最小值是52.
答案：52
12．(2018·苏中三市、苏北四市三调)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2，则的值为________．
解析：设正四棱柱的高为a，所以底面边长为8a，根据体积相等，且底面积相等，所以正四棱锥的高为3a，则正四棱锥侧面的高为4×8a2
＝.
154××8a×5a2
2答案： 5
13．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．
解析：如图，设底面半径为r，由题意可得：母线长为2r.又侧面展1
开图面积为×2r×2πr＝42π，所以r＝2.又截面三角形ABD为等边三
2角形，故BD＝AB＝2r，又OB＝OD＝r，故△BOD为等腰直角三角形．设圆锥底面中心到截面的距离为d，又VO-ABD＝VA-BOD，所以d×S△ABD＝AO×S△OBD.又S△ABD＝32×223×8＝23，S△OBD＝2，AO＝r＝2，故d＝＝. 4323
32
AB＝4
2
S1S2
a2
＋a2
＝5a，所以
S1
＝S2
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