八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题1】 AlB作法 A图形 原理 连AB，与l交点即为P． PBl两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题2】“将军饮马” ABl作法 A作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 图形 原理 BPB'l两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题3】 l1作法 P'分别作点P关于两直线的图形 l1原理 Pl2MPNP''l2两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 【问题4】 l1QPl2作法 Q'图形 l1QPNP'l2原理 分别作点Q 、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． M两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 【问题5】“造桥选址” 作法 - 1 -
图形 原理 AMNBmn A将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M． A'MNB两点之间线段最短． mnAM+MN+BN的最小值为 A＇B+MN． 直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小． 【问题6】 AB作法 将点A向右平移a个长度l图形 A原理 A'BMaN单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇ ＇B，交直线MA''Nl两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇＇B+MN． 在直线l上求两点M、N（M在左），使MN?a，并使AM+MN+NB的值最小． l于点N，将N点向左平移a个单位得M． 【问题7】 l1Pl2作法 P'图形 l1Pl2原理 作点P关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A． 点到直线，垂线段最短． PA+AB的最小值为线段P＇B的长． AB在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小． 【问题8】 l1NAMBl2作法 图形 B'l1ANMA'Bl2原理 作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N． 两点之间线段最短． AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 【问题9】 ABl作法 A图形 原理 垂直平分上的点到线段两B连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P． P端点的距离相等． l在直线l上求一点P，使PA?PB的值最小． PA?PB＝0． 【问题10】 作法 - 2 -
图形 原理 ABlA三角形任意两边之差小于B作直线AB，与直线l的交点即为P． 第三边．PA?PB≤AB． Pl在直线l上求一点P，使PA?PB的值最大． PA?PB的最大值＝AB． 【问题11】 AlB作法 A图形 原理 三角形任意两边之差小于B'l作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P． 第三边．PA?PB≤AB＇． PA?PB最大值＝AB＇． BP在直线l上求一点P，使PA?PB的值最大． 【问题12】“费马点” A作法 所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠D图形 原理 BCAPC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求． BPAE两点之间线段最短． PA+PB+PC最小值＝CD． △ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小． C
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有
一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A A．23 B．26 C．3 D．6
D
P E
B C
2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（ ） A．2
B．23 D．4
C．2?3
3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，
- 3 -
ADBN∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．120° B．130° C．110° D．140°
4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合）， 且ED＝AE，则线段AE的取值范围是 ．
AEANBMDC
CDB6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2?BC2?AB2）
7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(63，0)．
OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．
8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为 ，
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yAB
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