第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.
评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S△OAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB,
∴当OC⊥平面OAB时,VC-OAB最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max=×R2×R=R3=36,∴R=6,∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π.
评析 点C是动点,如果以△ABC为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB为底面(S△OAB为定值),这样高越大,体积越大.
10.B 当点P与C、D重合时,易求得PA+PB=1+ ;当点P为DC的中点时,有OP⊥AB,则x= ,易求得PA+PB=2PA=2 .显然1+ >2 ,故当x= 时, f(x)没有取到最大值,则C、D选项错误.当x∈ 时, f(x)=tan x+ ,不是一次函数,排除A,故选B.
11.D 设双曲线E的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a, a),又M点在双曲线E上,于是12.A 令g(x)=
- =1,解得
b2=a2,∴e= = .
,则g'(x)=
-
,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.
∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=
=0, ∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.
又∵g(-x)=
- - -
=-
=
=g(x),∴g(x)是偶函数,
∴当x∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=二、填空题 13.答案
.
解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于 = ,即λ=.
14.答案
解析 作出可行域,如图:
由z=x+y得y=-x+z,当直线y=-x+z过点A 时,z取得最大值,zmax=1+=.
15.答案 3
解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为 [f(1)-f(-1)],∴ ×(a+1)×16=32,∴a=3.
评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -
解析 ∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴ -
=1,∴ 是等差数列,且
公差为-1,而 = =-1,∴ =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=- .
三、解答题
17.解析 (Ⅰ)S△ABD= AB·ADsin∠BAD, S△ADC= AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得
∠ ∠
==.
(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD= . 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.
评析 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易. 18.解析 (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
A地区 B地区 4 6 8 3 5 1 3 6 4 6 4 2 6 2 4 5 5 6 8 8 6 7 4 3 9 3 3 4 6 9 2 8 6
8 3 2 1
5 1
7 5 5 2 9 1 3
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散. (Ⅱ)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,
则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2. P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2) =P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).
由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为 , , , ,故P(CA1)= ,P(CA2)= ,P(CB1)= ,P(CB2)= , P(C)= × + × =0.48. 19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图:
(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
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