∴∵∴
， ，
，
，
（Ⅱ）∵，，可得：，
∴由余弦定理∴解得：∴∴
中，由余弦定理可得：
（负值舍去），
，可得，可得：，
，
．
【点睛】本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题。
18.如图，四棱锥
．
中，四边形
是边长为2的菱形，
，
（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）若
平面；
的体积．
，求四棱锥
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】 【分析】 （I）过作平面
，垂足为，连接
平面
，利用勾股定理证明；
计算体积．
，结合得出
，即可证得平面
，再根据
（II）先计算
- 13 -
【详解】（I）证明：过作，垂足为，连接，
∵在
，，∴，
中，由余弦定理可得：
，
∴∵∴又∴∴平面（II）∵∴
，
，
，∴
，平面
，又平面
． ，∴
，∴
．
．
，
， ，∴
，
是等边三角形，∴
．
【点睛】本题主要考查了面面垂直的判断，还考查了余弦定理及锥体体积计算公式，考查计算能力、空间思维能力及转化能力，属于中档题。
19.移动支付极大地方便了我们的生活，也为整个杜会节约了大量的资源与时间成本.2018年国家高速公路网力推移动支付车辆高速通行费．推广移动支付之前，只有两种支付方式：现金支付或
支付，其中使用现金支付车辆比例的为
，使用
支付车辆比例约为
，
推广移动支付之后，越来越多的车主选择非现金支付，如表是推广移动支付后，随机抽取的某时间段内所有经由某高速公路收费站驶出高速的车辆的通行费支付方式分布及其他相关数据：
是否需要在入口支付方式 处取卡 付 是否需要停车支数量统计（辆） 出耗时（秒） 平均每辆车行驶 - 14 -
现金支付 扫码支付 支付 车辆识别支付
是 是 否 否 是 是 否 否 135 240 750 375 30 15 4 4 并以此作为样本来估计所有在此高速路上行驶的车辆行费支付方式的分布．
已知需要取卡的车辆进入高速平均每车耗时为10秒，不需要取卡的车辆进入高速平均每车耗时为4秒．
（Ⅰ）若此高速公路的日均车流量为9080辆，估计推广移动支付后比推广移动支付前日均可少发卡多少张？
（Ⅱ）在此高速公路上，推广移动支付后平均每辆车进出高速收费站总耗时能否比推广移动支付前大约减少一半？说明理由． 【答案】（Ⅰ）3178张 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（I）分别计算移动支付推广前后的发卡量即可得出结论；
（II）分别计算移动支付推广前后的车辆总耗时的平均数得出结论． 【详解】解：（I）移动支付推出前，需在入口处停车取卡的车辆大约为移动支付后，需在入口处停车取卡的车辆大约为估计推广移动支付后比推广移动支付前日均可少发卡（II）移动支付推出前，平均每辆车进出高速收费站大约耗时
秒，
移动支付推出后，平均每辆车进出高速收费站大约耗时
秒，
所以推广移动支付后平均每辆车进出高速收费站总耗时比推广移动支付前大约减少一半． 【点睛】本题主要考查了统计图表知识，还考查了样本平均数的计算及概率模拟应用，属于中档题。
张．
辆， 辆，
- 15 -
20.已知为椭圆的坐标为
时，
．
的左焦点，过原点的动直线与交于、两点．当
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）延长
交椭圆于，求
（Ⅱ）
的面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】 （Ⅰ）由已知求得（Ⅱ）当直线在时，设
：
，再由
：
，解得，．则椭圆的标准方程可求； 的面积；当
所在直线斜率存
，再由点到
斜率不存在时，，求出三角形
．联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求
的距离，得到到
直线距离公式求到数的性质求最值． 详解】解：（Ⅰ）由而由
，∴
的距离，代入三角形面积公式，换元后利用二次函
，得，即
，
．
．
，
【，解得
∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）当直线此时
；
斜率不存在时，
，
：
，
，
；
当
所在直线斜率存在时，
，
- 16 -
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