高等数学
第一章 函数与极限
第一节 函数
●函数基础（高中函数部分相关知识）（▲▲▲） ●邻域（去心邻域）（▲）
U?a,???x|x?a??
o●无穷小与无穷大的相关定理与推论（▲▲）
（定理三）假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为无穷大，则f?1?x?为无穷小；反之，若f?x?为无则lim??f?x??g?x????0
??U?a,????x|0?x?a???
x???x?为无穷大
〖題型 〗計算：lim?f?x??g?x???（或x??） x?x?穷小，且f?x??0，则f0?1第二节 数列的极限
●数列极限的证明（▲）
〖題型 〗已知数列?xn?，证明lim?xn??a 〖证明 〗??N语言
1．由xn?a??化簡得n?g???， ∴N???g?????
2．即对???0，?N???g?????，当n?N时，始终有不等式xn?a??成立， ∴lim?xn??a
x??1．∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,??内是有界的；
（∵f?x?≤M，∴函数f?x?在x?D上有界；） 2．limg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小； （limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小；）
x??x?x0?3．由定理可知lim??f?x??g?x????0
x?x0（lim??f?x??g?x????0）
x??第三节 函数的极限
●x?x0时函数极限的证明（▲） 〖題型 〗已知函数f?x?，证明limf?x??A
x?x0第五节 极限运算法则
●极限的四则运算法则（▲▲） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则
关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算
mm?1??p?x??a0x?a1x???am设：?
nn?1??q?x??b0x?b1x???bn??n?m?p?x??a0则有lim?? n?m
x??q?x??b0n?m??0?f?x0?g?x0??0?gx?0?f?x???lim??? g?x0??0,f?x0??0 x?x0g?x??0?g?x0??f?x0??00??f?x?0（特别地，当lim?（不定型）时，通常分
x?x0g?x?0〖证明 〗???语言
1．由f?x??A??化簡得0?x?x0?g???， ∴??g???
2．即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A
x?x0●x??时函数极限的证明（▲）
〖題型 〗已知函数f?x?，证明limf?x??A
x??〖证明 〗??X语言
1．由f?x??A??化簡得x?g???， ∴X?g???
2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A
x??第四节 无穷小与无穷大
●无穷小与无穷大的本质（▲） 函数f?x?无穷小?limf?x??0 函数f?x?无穷大?limf?x???
子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）
〖題型 〗求值limx?3x?3 2x?9高等数学期末复习资料 第1页（共9页）
〖求解示例〗解：因為x?3，从而可得x?3，所以原式?limx?3x?3x?311?lim?lim? 2x?3x?3x?9x?36?x?3??x?3??2x?3?解：lim??x??2x?1??x?1?2x?1?2??lim??x???2x?1?2x?12???x?1?22x?1x?12???lim?1??2x?1???2x?1?2x?1x?3其中x?3为函数f?x??2的可去间断点
x?9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
2???lim?1??2x?1???2x?1?2x?12x?1??22???lim??1???2x?1????2x?1???????x?1????2?lim???x?1???2x?1???2x?1??x?1?x?3???x?311?lim?lim? 解：lim2x?3x?9L?x?3x?32x6?x2?9??●连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（▲▲） （定理五）若函数f?x?是定义域上的连续函数，那么，limf???x???f?lim??x?? ????x?x0?x?x0?〖題型 〗求值：lim〖求解示例〗limx?300?2????lim?1??2x?1???2x?1????e
2x?1???2x?12????2x?1????2x?1lim?2?e?2x?2?lim??2x?1??e1?ex?3x?3 x2?9第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ●等价无穷小（▲▲）
U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1?U)1． U~?e?1?2．U~1?cosU
（乘除可替，加减不行）
ln?1?x??xln?1?x?〖題型 〗求值：lim 2x?0x?3x〖求解示例〗
ln?1?x??xln?1?x?解：因为x?0,即x?0,所以原式?limx?0x2?3x
?1?x??ln?1?x??lim?1?x??x?limx?1?1?limx?0x?0x?x?3?x?0x?3x?x?3?3第八节 函数的连续性 ●函数连续的定义（▲）
x?x0?x?3x?316?lim?? x?3x2?9x2?966122
第六节 极限存在准则及两个重要极限
●夹迫准则（P53）（▲▲▲） 第一个重要极限：lim∵?x??0,sinx?1
x?0xsinx????1 ?，sinx?x?tanx∴limx?02x??lim1x1x?0lim?lim??1 x?0sinxx?0sinx?sinx?lim??x?0x?x?limf?x??lim?f?x??f?x0?
x?x0●间断点的分类（P67）（▲）
?跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）??可去间断点（相等）???第二类间断点??）?无穷间断点（极限为（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
sin(x?x0)?1） （特别地，limx?x0x?x0
●单调有界收敛准则（P57）（▲▲▲）
?1?第二个重要极限：lim?1???e
x???x?（一般地，lim??f?x???limf?x??0）
g?x?x???limf?x???limg?x?，其中
?e2xx?0〖題型 〗设函数f?x??? ，应该怎样选
x?0a?x?择数a，使得f?x?成为在R上的连续函数？
〖求解示例〗
??f?0???e2?0?e1?e?1．∵?f0??a?0??a
????f?0??a??2．由连续函数定义lim?f?x??lim?f?x??f?0??e
x?0x?0?2x?3?〖題型 〗求值：lim??x??2x?1??〖求解示例〗
x?1
∴a?e
高等数学期末复习资料 第2页（共9页）
第九节 闭区间上连续函数的性质 ●零点定理（▲）
〖題型 〗证明：方程f?x??g?x??C至少有一个根介于a与b之间 〖证明 〗
1．（建立辅助函数）函数??x??f?x??g?x??C在闭区间?a,b?上连续；
2．∵??a????b??0（端点异号）
3．∴由零点定理，在开区间?a,b?内至少有一点?，使 ????g????C?0（0???1）4．这等式说明方程f?x??g?x??C在开区间?a,b?内至少有一个根? 第二章 导数与微分
第一节 导数概念
●高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（▲▲）
得?????0，即f?x?的导数
〖求解示例〗由题可得f?x?为直接函数，其在定于域D
〖題型 〗求函数f?1上单调、可导，且f??x??0；∴??f?1??x????1 ?f?x?●复合函数的求导法则（▲▲▲） 〖題型 〗设y?lnearcsin〖求解示例〗
解：y??1earcsin1earcsinx2?1x2?1?x2?1?x2?a2，求y?
???x2?a2???earcsinx2?1?x?a22?????x2?a2?????arcsin??e???????earcsin??????earcsin???ex?1x?0〖題型 〗已知函数f?x??? ，在x?0x?0ax?b?处可导，求a，b
〖求解示例〗
?f?0???e0?1?e0?1?20?f???0??e?1?1．∵?，? ??f0?b?????f???0??a?f?0??e0?1?2????e?e1arcsinx2?1?x2?a21??x?a???x2?1???2222x?a?1??x?1???2x??22xx2?12x?1???2222?x2x?a????x2?1??22?x2?1arcsinx2?1?x2?a2?xx2?1?2?x2???x2?a2?x
第四节 高阶导数 ●f?n??n?1??n?1???n??dydy）（或（▲） ?x????n??n?1??dx?dx??x????f?f???0??f???0??a?12．由函数可导定义? ?????f0?f0?f?0??b?2∴a?1,b?2
〖題型 〗求函数y?ln?1?x?的n阶导数 〖求解示例〗y??????1?1??1?x?， 1?x〖題型 〗求y?f?x?在x?a处的切线与法线方程 （或：过y?f?x?图像上点??a,f?a???处的切线与法线方程） 〖求解示例〗
1．y??f??x?，y?|x?a?f??a? 2．切线方程：y?f?a??f??a??x?a? 法线方程：y?f?a???1x?a? ?f??a??1??2?y????1?x?????1???1?x?， ???2??3????y???1???1?x?????1????2???1?x? ??……
y???(?1)n?1?(n?1)！?(1?x)?n
n第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ●隐函数的求导（等式两边对x求导）（▲▲▲） 〖題型 〗试求：方程y?x?e所给定的曲线C：
y第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则
●函数和（差）、积与商的求导法则（▲▲▲） 1．线性组合（定理一）：(?u??v)???u???v? 特别地，当????1时，有(u?v)??u??v? 2．函数积的求导法则（定理二）：(uv)??u?v?uv?
y?y?x?在点?1?e,1?的切线方程与法线方程
y〖求解示例〗由y?x?e两边对x求导
y?y??即y?x??e?化簡得y??1?e?y?
∴y????u?u?v?uv?3．函数商的求导法则（定理三）：??? 2vv??第三节 反函数和复合函数的求导法则
●反函数的求导法则（▲）
11? 1?e11?e1?x?1?e? 1?e∴切线方程：y?1?高等数学期末复习资料 第3页（共9页）
法线方程：y?1???1?e??x?1?e?
●参数方程型函数的求导
?x???t?d2y〖題型 〗设参数方程?，求2
dx?y???t???dy??dy???t?d2y?dx???〖求解示例〗1.2.2? ???t?dx???t?dx第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）
第七节 函数的微分
●基本初等函数微分公式与微分运算法则（▲▲▲） dy?f??x??dx
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理 ●引理（费马引理）（▲） ●罗尔定理（▲▲▲） 〖題型 〗现假设函数f?x?在?0,??上连续，在?0,?? 上可导，试证明：????0,??， 使得f?x?0，函数f?x?在闭区间?0,x?上连续，在开区
1间?0,??上可导，并且f??x??；
1?x2．由拉格朗日中值定理可得，????0,x?使得等式
1ln?1?x??ln?1?0???x?0?成立，
1??1x，又∵???0,x?， 化簡得ln?1?x??1??1?1，∴ln?1?x??1?x?x， ∴f?????1??x即证得：当x?1时，e?e?x
第二节 罗比达法则
●运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（▲▲） ☆
1．等价无穷小的替换（以简化运算）
2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A．属于两大基本不定型（
???cos??f????sin??0成立
〖证明 〗
1．（建立辅助函数）令??x??f?x?sinx
显然函数??x?在闭区间?0,??上连续，在开区间
0? ,）且满足条件，
0?f?x?f??x?则进行运算：lim ?limx?ag?x?x?ag??x??0,??上可导；
2．又∵??0??f?0?sin0?0
?????f???sin??0 即??0???????0
3．∴由罗尔定理知
（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）
☆
B．不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0??型（转乘为除，构造分式） 〖題型 〗求值：limx?lnx
x?0?〖求解示例〗
????0,??，使得f???cos??f????sin??0成立
●拉格朗日中值定理（▲）
〖題型 〗证明不等式：当x?1时，e?e?x 〖证明 〗
1．（建立辅助函数）令函数f?x??e，则对?x?1，
xx1lnxx解：limx??lnx?lim?lim?lim??1x?0x?01L?x?0x?0??x?1???2? ????xx?x?1??limx??0ax?0???lnx??（一般地，limx??lnx??0，其中?,??R）
?x?0?显然函数f?x?在闭区间?1,x?上连续，在开区间
⑵???型（通分构造分式，观察分母） 〖題型 〗求值：lim??1,x?上可导，并且f??x??ex；
2．由拉格朗日中值定理可得，????1,x?使得等式
1??1??
x?0sinxx??ex?e1??x?1?e?成立，
x11又∵e?e，∴e?e??x?1?e?e?x?e，
?1〖求解示例〗
1??1?x?sinx??x?sinx?
解：lim????lim??lim???x?0sinxx?x?0?x?sinx?x?0?x2??化簡得e?e?x，即证得：当x?1时，e?e?x 〖題型 〗证明不等式：当x?0时，ln?1?x??x 〖证明 〗
1．（建立辅助函数）令函数f?x??ln?1?x?，则对
xx?limL?x?000?x?sinx???x??21?cosx???1?cosxsinx?lim?lim?lim?0x?0x?02xL?x?0?2x??200 ⑶0型（对数求极限法）
0高等数学期末复习资料 第4页（共9页）
〖題型 〗求值：limx
x?0x〖求解示例〗
解：设y?xx,两边取对数得：lny?lnxx?xlnx???lnx1x0?00?0(2)(1)(3)?????????0??????1?
???0??⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）
⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）
第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ●连续函数单调性（单调区间）（▲▲▲） 〖題型 〗试确定函数f?x??2x3?9x2?12x?3的单调区间 〖求解示例〗
1．∵函数f?x?在其定义域R上连续，且可导
2∴f??x??6x?18x?12
lnx???lnx对对数取x?0时的极限：lim?lny??lim?limx?0x?01L?x?0?1????x?x?1limlny?limx??limx?0，从而有limy?limelny?ex?0?e0?1x?0x?0x?0x?01?2x ⑷1?型（对数求极限法）
〖題型 〗求值：lim?cosx?sinx?
x?01x〖求解示例〗
解：令y??cosx?sinx?,两边取对数得lny?ln?cosx?sinx?,xln?cosx?sinx?对lny求x?0时的极限，limlny?limx?0x?0x0?0ln?cosx?sinx???cosx?sinx1?0???lim?lim??1,从而可得L?x?0x?0cosx?sinx1?0??x?1xx1?1,x2?2 2．令f??x??6?x?1??x?2??0，解得：
3．（三行表） x ???,1? ? 1 0 极大值 ?1,2? ? ] 2 0 极小值 ?2,??? ? f??x? f?x? Z Z limy=limelny?ex?0x?0x?0limlny?e1?e
0 ⑸?型（对数求极限法） 〖題型 〗求值：lim?〖求解示例〗
4．∴函数f?x?的单调递增区间为???,1?,?2,???； 单调递减区间为?1,2?
〖題型 〗证明：当x?0时，e?x?1 〖证明 〗
1．（构建辅助函数）设??x??e?x?1，（x?0）
xx?1??x?0x??tanx?1?解：令y????x??1?,两边取对数得lny?tanx?ln??,?x???1??对lny求x?0时的极限，limlny?lim?tanx?ln???x?0x?0?x???lnx??lim??limx?0?1?L?x?0?1???????tanx??tanx?02sin2x???sinx02sinx?cosx?lim?lim?lim?0,?x?0Lx?0x?0?xx1??tanx2．???x??e?1?0，（x?0）
x∴??x????0??0
3．既证：当x?0时，e?x?1
〖題型 〗证明：当x?0时，ln?1?x??x
〖证明 〗
1．（构建辅助函数）设??x??ln?1?x??x，（x?0）
x?lnx??1x??limx?0sec2x?tan2x1?1?0，（x?0） 1?x ∴??x????0??0
2．???x??3．既证：当x?0时，ln?1?x??x
●连续函数凹凸性（▲▲▲）
〖題型 〗试讨论函数y?1?3x?x的单调性、极值、
凹凸性及拐点
〖证明 〗
23从而可得limy=limelny?ex?0x?0x?0limlny?e0?1●运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（▲▲）
高等数学期末复习资料 第5页（共9页）
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