1-7.极限的计算 - 基本计算方法

模块基本信息 一级模块名称 先行知识 知识内容 1、极限的四则运算法则 2、极限的复合运算法则 能力目标 时间分配 修订 1、培养学生的计算能力 2、培养学生类比推广能力 20分钟 熊文婷 编撰 陈亮 二审 校对 王清玲 审核 危子青 危子青 函数与极限 二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、熟练掌握极限的四则运算法则 2、熟练掌握极限的复合运算法则 计算模块 1-7 掌握程度 三级模块名称 极限的计算---基本计算方法 熟练掌握 一、正文编写思路及特点 思路：通过数的相互计算关系类比讲解极限的基本计算方法，让学生用已有的知识类比推导出极限的基本计算方法。 特点：通过类比讲解数的基本计算方法来讲解极限的基本计算方法，让学生掌握类比推导的能力。 二、授课部分 （一）极限基本计算的相关定义、定理 1、极限的四则运算 如果lim f (x)?A? lim g (x)?B? 那么 （1）lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)?A?B （2）lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)?A?B （3）lim f(x)limf(x)A??(B?0)? g(x)limg(x)B推论1’如果limf(x)存在? 而c为常数? 则lim[cf(x)]?climf(x). 推论2’如果limf(x)存在? 而n是正整数? 则lim(f(x))n?(limf(x))n. x2?x例1．计算极限lim3. x?2x?3x?1limx(x?1)x2?x?x?23解：lim3 x?2x?3x?1lim(x?3x?1)x?2

??limx?lim(x?1)limx?lim3x?lim1x?2x?2x?2x?23x?2 2?36? 32?3?2?113小结：（极限的四则运算使用条件） （1）参与运算的函数极限都存在， 反例：limx(x?2)不存在. x??（2）参与运算的函数是有限的， 111反例：lim(1?2)(1?2)?(1?2)不能直接利用乘法运算. n??23n但若参与运算的函数是无限的，只要能化简为有限项，还是可以求出极限的，例如 1111?32?4?n?1???n?1?lim(1?2)(1?2)?(1?2)?lim2?2? n??n??223n3n2n?11?lim? n??2n2（3）分母的极限不为零, x反例：lim极限不存在. x??2x?22、数列极限的运算法则 由于数列极限为特殊的函数极限，所以数列极限也满足函数极限的四则运算法则. 3、复合函数的极限运算法则 定理2(复合函数的极限运算法则) 设函数y?f[g(x)]是由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成?f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义? 若limg(x)?u0?limf(u)?A? 且在x0的某去心x?x0u?u0邻域内g(x)?u0 则 x?x0limf[g(x)]?limf(u)?A u?u0 例2. 计算limsin(x2?2x). x?1 分析：lim(x2?2x)的极限存在且为3，且sin3也有定义。本x?1题可以设u?x2?2x且limu?3，所以本题可如下解得 x?1 解：limsin(x2?2x)?limsin(u)?sin3. x?1u?3

注?把定理中limg(x)?u0换成limg(x)??或x?x0x?x0x??limg(x)????而把limf(u)?A换成limf(u)?A可得类似结u?u0u??果. 4、总结极限运算的实质 极限运算的实质就是在极限存在时交换四则运算（复合运算）符号和极限符号. 三、能力反馈部分（考查学生对极限的基本运算的掌握情况） 3n?2?1?（1）limn（2）lim?2?x? n??x?1x?12??（3）limx2(x?3)（4）limx?4x?1arctan(x?5) x?2(1?11（5）limx??x x2)(1?)