复变函数与积分变换习题解答

复变函数与积分变换习题解答

若：若：

a?ba?b22，则Z的轨迹为圆，圆心在-a，半径为，无意义

a?b2 y (1,1) 2．用复参数方程表示曲线，连接1?i与?1?4i直线段。 解：z?(1?i)?[(?1?4i)?(1?i)]t 则z?(1?i)?(2?5i)t0 0?t?1

(-1,-4) (0?t?)

3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。

（1）解：由

z?1,Rez?12

y z?122x?y?1 ，得

又

Rez?11x?2，得2

0 有界，单连域

2（2）Rez?1

y 解：令 z?x?iy

222Rez?1?x?y?1 由

22 即：y?x?1

x -1 0 0 1 无界，单连域

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复变函数与积分变换习题解答 z?1?2z?1（3） y 54(x?)2?y2?()233 解：令z?x?iy 则：无界，多连域 3/5 x 4．对于函数??f(z)?iz,D:Imz?0，描出当z在区域D内变化时，w的变化范围。 解：令z?x?iy

则w?f(z)?iz?i(x?iy)??y?ix ?Imz?0,则y?0 ?Rew??y?0,

?w的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴

0 u v Rez5.试证z?0z不存在。

limxRezlimlimx?0x?iyz?0z 证：=y?0

1 令y?kx 则：上述极限为1?ki不确定，因而极限不存在。

*6.思考题

（1）怎样理解复变函数w?f(z)？ 答：设w?u?iv,z?x?iy,则w?f(z)就是 u?iv?f(x?iy)?u(x,y)?iv(x,y)

?u?u(x,y)?v?v(x,y) 因此，一个复变函数f(z)与两个实变函数u(x,y)和v(x,y)相对应，从即 ?几何意义上来说，复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。

（2）设复变函数f(z)当z?z0时的极限存在，此极限值与z趋于z0所采取的方式（取的路径）有无关系？

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答：没有关系，z以任意方式趋于z0时，极限值都是相同的，反过来说，若令z沿两条不同的曲线趋于z0时极限值不相等，则说明f(z)在z0没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x只能从左、右以任何方式趋于x0，而这里可以从四面八方任意趋于z0。

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练 习 三

1．用导数定义，求f(z)?zRez的导数。

解：?z?0limf(z??z)?f(z)(z??z)Re(z??z)?zRez?lim?z?0?z?z

zRe?z??zRez??zRe?zRe?z?lim(Rez?Re?z?z)?z?0?z?0?z?zRe?z?x?lim(Rez?)?lim(Rez?z?)?z?0?x?0?z?x?i?y?y?0?lim

当z?0时，导数不存在， 当z?0时，导数为0。

2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

（1）

f(z)?1z

f(z)?解：

1zxy?2?2?i2?u(x,y)?iv(x,y)2zx?iyx?yz

y2?x2ux?2(x?y2)2?2xyvx?2(x?y2)2uy??2xy(x2?y2)2x2?y2vy?2(x?y2)2

当且仅当x?y时， f(z)满足C?R条件，故当x?y时f(z)可导，但在复平面不解析。

3223f(z)?x?3xy?i(3xy?y) （2）

解：令f(z)?u(x,y)?iv(xy)

ux?3x2?3y2 则

vx??6xyvy?3x2?3y2

uy?6xy因f(z)在复平面上处处满足C?R条件，且偏导数连续，故f(z)可导且解析。 3．设my?nxy?i(x?lxy)为解析函数，试确定l,m,n的值。 解：由C?R条件可知： 2nxy?2lxy

3232所以 n?l

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