3第三章 数列

引

言:在生活和工作中，我们经常会遇到按照一定次序排列的一列数。例如，某生物细胞分裂，每次一个细

胞分裂成2个，则每次分裂后的细胞个数依次为2,4,8,36,32,….要计算经过多少次分裂，细胞个数可以达到3024个，就需要应用到数列的知识。本章将学习数列、等差数列、等比数列的概念及相关的计算，并通过实际的列子，了解它们在实际生活中的应用。

第三章 数列

3.1 数列的概念

3.1.1 数列的概念

实例

将正整数从小到校排成一列数为1,2,3,4,5,?. （1） 将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为2,22,23,24,25,?. （2） 当n从小到大一次取正整数时，cosn?的值排成一列数为?1,1,?1,1,?. （3） 某报告厅共25排座位，各排座位数按照从前到后的顺序排成一列数为

22,24,26,?,68,70. （4）

新知识

像上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项。从开始的项起，自左至右排序，各项按照其中的位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，?，第n项，?，其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3,?,n，分别叫做对应的项数。

只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列。 由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列

的一般形式可以写作 a1,a2,a3,?,an,?.(n?N?)

简记做?an?。其中，下角码中的数为项数，a1表示第1项，a2表示第2项，?。 当n由小至大依次取正整数时，an依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第

n项an叫做数列?an?的通项或一般项。

练习3.1.1

3.说出生活中的数列。

2.数列“1,2,3,4,5”与数列“5,4,3,2,1”是否为同一个数列？

3.设数列?an?为“?5,?3,?1,1,3,5,?”，指出其中a3、a6各是什么数？

3.1.2 数列的通项公式

观察

3.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列的正整数。 a1?1,a2?2,a3?3,?. 可以看到，每一项与这项的项数恰好相同.这个规律可以用 an?n(n?N?)

表示.利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11?11,a20?20. 3.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大依次排列的2的正整数指数幂. a1?2,a2?22,a3?23,?.

可以看到，各项的底部都是2，每一项的指数恰好是这项的项数.这个规律可以用 an?2n(n?N?)

表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11?211,a20?220. 新知识

一个数列的第n项an，如果能够用关于项数n的一个式子来表示，那么这个 式子叫做这个数列的通项公式.可以用花括号将这个式子括起来，表示对应的无 穷数列.

例如，数列（3）的通项公式为an?n，可以将数列（3）记为数列?n?；数 列（2）的通项公式为an?2n，可以将数列（2）记为数列2n. 知识巩固 例1

设数列?an?的通项公式为an???1,写出数列的前5项. n2分析：知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n

换成该项的项数，并计算出结果. 解 a1?1111111111?;a??;a??;a??;a??. 234512345248163222222例2 根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式. （1）5,10,15,20,?; （2）,,,,?;（3）?1,1,?1,1,?.

分析：分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系. 解（1）数列的前4项与其项数的关系如下表： 3 项数n 1 2 4 20 10 15 5 项an 11112468n与an的关系 5?5?1 10?5?2 15?5?3 20?5?4 由此得到，该数列的一个通项公式为an?5n. （2）数列的前4项与其项数的关系如下表： 项数n 1 2 项an 3 4 1 81 211? 22?11 411? 42?21 611? 62?3n与an的关系 11? 82?4由此得到，该数列的一个通项公式为an?（3）数列的前4项与其项数的关系如下表： 项数n 1 2 ?1 1 项an 1. 2n3 4 1 (?1)4 ?1 (?1)3 n与an的关系 (?1)1 (?1)2 由此得到，该数列的一个通项公式为an?(?1)n.

例3 判断16和45是否为数列?3n?1?中的项，如果是，请指出是第几项. 分析：如果数a是数列中第k项，那么k必须是正整数，并且a?3k?1. 解： 数列的通项公式为an?3n?1.将16代入数列的通项公式有 16?3n?1，解得n?5?N?. 所以，16是数列?3n?1?中的第5项.

将45代入数列的通项公式有45?3n?1，解得n? 所以，45不是数列?3n?1?中的项.

练习3.1.2

1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项: （3）an?3n?2; （2）an?(?1)n?n

44?N?， 32. 根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式: （1）?1,1,3,5,?; （2）?,,?,113611,?; 912 （3）,,,,?.

3. 判断12和56是否为数列n2?n中的项，如果是，请指出是第几项. 习题3.3 A组

1.已知下列各数列的通项公式，分别写出各数列的前4项：

（1）an?2(n?3); （2）an?(n?2)2; （3）an?(?1)n?1(n?1); （4）an?13572468??2n?1; n22. 根据下列各无穷数列的前5项，写出数列的一个通项公式：

（3）2,2,2,2,2,?; （2）4,9,16,25,36,?; （3）

11111,,,,,?. 1?22?33?44?55?63. 判断9是否为数列?3(2n?7)?中的项，如果是，请指出的第几项. 4. 判断22是否为数列n2?n?20中的项，如果是，请指出的第几项. B组

根据下列各无穷数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （3）?1,,???1811134567,,?,?; （2）,,,,,?.

5811141727641253.2 等差数列

3.2.1 等差数列的定义