模块综合评价(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
n
1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－2的值为( )
ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A．－0.2
B．0.2
C．0.1
D．－0.1
解析：由离散型随机变量分布列的性质，可得m＋n＋0.2＝1， 又m＋2n＝1.2，所以m＝0.4，n＝0.4， n
所以m－＝0.2.
2答案：B
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
^
A.y＝－10x＋200 ^
C.y＝－10x－200
^
B.y＝10x＋200 ^
D.y＝10x－200
解析：由于销售量y与销售价格x负相关，故排除B，D.又当x＝10时，A中的y＝100，而C中y＝－300，故C不符合题意．
答案：A
3．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、
化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48 C．72 D．120
313
解析：A参加时参赛方案有C4A2A3＝48(种)，A不参加时参赛方4
案有A4＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C.
答案：C
4．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7 解析：列2×2列联表可知：
Y y1 y2 X x1 x2 a＝10 b＝21 c d 合计 31 35 66 合计 10＋c 21＋d 当c＝5时，
66×（10×30－5×21）2
K＝≈3.024>2.706，
15×51×31×35
2
所以c＝5时，X与Y有关系的可信程度为90%， 而其余的值c＝4，c＝6，c＝7皆不满足． 答案：B
?1?8
?的展开式中常数项为( ) 5.?x＋
2x??
35
A. 1635B. 8
35C. 4
D．105
k
Tk＋1＝C8(
解析：二项展开式的通项为
x)
8－k?
1?k?1?kk4－k
??＝??C8x，
?2?2x??
?1?4435
令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝?2?C8＝.
8??
答案：B
6．ξ，η为随机变量，且η＝aξ＋b，若E(ξ)＝1.6，E(η)＝3.4，则a，b可能的值为( )
A．2，0.2 C．0.5，1.4
B．1，4 D．1.6，3.4
解析：由E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1.6a＋b＝3.4，把选项代入验证，只有A满足．
答案：A
111
7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P＝，，，
263且设η＝2ξ＋1，则η的期望为( )
1229
A．－ B. C. D．1
6336
1111解析：E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
26362
所以E(μ)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝.
3答案：B
8．若随机变量ξ～N(－2，4)，ξ在下列区间上取值的概率与ξ在区间(－4，－2]上取值的概率相等的是( )
A．(2，4] C．[－2，0)
B．(0，2] D．(－4，4]
解析：此正态曲线关于直线x＝－2对称，所以ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2，0)上取值的概率．
答案：C
?1???，则函数f(x)＝x2＋4x＋X5，9．设随机变量X服从二项分布B2??
存在零点的概率是( )
5
A. 6
4B. 5
20C. 21
31D. 32
解析：函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点， 所以Δ＝16－4X≥0，所以X≤4，
?1???5，因为随机变量X服从二项分布B2?， ?
131
所以P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－5＝. 232答案：D
10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
分类 读营养说明 不读营养说明 总计 女 16 20 36 男 28 8 36 总计 44 28 72 请问性别和读营养说明之间有关系的程度为( ) A．99%的可能性 B．99.75%的可能性 C．99.5%的可能性 D．97.5%的可能性
解析：由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72.
2
n（ad－bc）
代入公式K2＝，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）2
72×（16×8－28×20）
得K2＝≈8.42.
44×28×36×36
由于K2≈8.42＞7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．
答案：C
11．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
解析：设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)．
法一 P(X＝0)＝1－0.36＝0.64.P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32， P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
法二 X～B(2，0.2)，E(X)＝np＝2×0.2＝0.4. 答案：D
?1?6???x－x?，x<0，
?12．设函数f(x)＝??则当x>0时，f(f(x))表达式的展??－x，x≥0，
开式中常数项为( )
A．－20
B．20
C．－15
D．15
??61?6?1
解析：当x>0时，f(f(x))＝?－x＋?＝?－x?，
x???x?
则展开式中常数项为答案：A
3?
C6?
1?3
?(－x)3＝－20. ?x?
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜X＜450)＝0.3，则P(550＜X＜600)＝________．
解析：由下图可以看出P(550＜X＜600)＝P(400＜X＜450)＝0.3.
答案：0.3
14．已知随机变量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，则D(ξ)＝________. 1
解析：由E(ξ)＝36p＝12，得p＝，
312
所以D(ξ)＝36××＝8.
33答案：8
15.欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，如图铜钱是直径为4 cm的圆形，正中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴是直径为0.2 cm的球)，记“油滴不出边界”为事件A，“油滴整体正好落入孔中”为事件B.则P(B|A)________(不作近似值计算)．
解析：因为铜钱的有效面积S＝π·(2－0.1)2，能够滴入油的图形为1416
边长为1－2×＝的正方形，面积为，
10525
所以P(B|A)＝答案：
64 361π
64
. 361π
16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．
解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P(ξ＝3)＝0.6，P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，E(ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.
答案：2.376
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)展开式中x的系数为19，求f(x)的展开式中x2的系数的最小值．
122m122nn
解：f(x)＝1＋Cmx＋Cmx＋…＋Cm mx＋1＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx，
由题意知m＋n＝19，m，n∈N*， 所以x项的系数为
2
m（m－1）n（n－1）?19?22
Cm＋Cn＝＋＝?m－?
2
2
?
2
2?
＋
19×17
. 4
因为m，n∈N*，所以当m＝9或m＝10时，上式有最小值． 所以当m＝9，n＝10或m＝10，n＝9时，x2项的系数取得最小值，
最小值为81.
18．(本小题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列； (2)求此员工月工资的期望．
－i
Ci4C44
解：(1)X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，P(X＝i)＝4(iC8
＝0，1，2，3，4)，
故X的分布列为：
X P 0 1 701 8 352 18 353 8 354 1 70(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800，3 500，则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝853＝，P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝， 3570
1
，P(Y＝2 800)＝P(X＝3)70
1853
E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280.
703570所以新录用员工月工资的期望为2 280元．
19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A， 5431
则P(A)＝××＝.
6542
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3， 1511
又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
6656542
P(X＝3)＝××1＝. 653所以X的分布列为：
X P 1 1 62 1 63 2 31125所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
6632
19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己
忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A， 5431
则P(A)＝××＝.
6542
1
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又P(X＝1)＝，P(X
6511542＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
656653
所以X的分布列为：
X P 1 1 62 1 63 2 31125所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
6632
20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得∑i＝1 xi＝80，∑i＝1 yi＝20，∑i＝1 xiyi＝184，∑i＝1 x2i＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程^y＝^bx＋^a； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
10
10
10
10
∑i＝1 xiyi－nx y
附：线性回归方程^y＝^bx＋^a中，b＝， n22
∑i＝1 xi－nx^a＝y－^bx，其中x，y为样本平均值．
1n80
解：(1)由题意知n＝10，x＝∑i＝1 xi＝＝8，
n101n20
y＝∑i＝1 yi＝＝2， n10
又lxx＝∑i＝1 xi2－nx2＝720－10×82＝80， lxy＝∑i＝1 xiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，
lxy24^由此得b＝＝＝0.3，^a＝y－^bx＝2－0.3×8＝－0.4.
lxx80故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．
n
n
n
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列
联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
分类 优秀 不优秀 合计 下面临界值表供参考：
P(K2≥k) K 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 10.828 甲班 乙班 合计 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ??n（ad－bc）22?参考公式：K＝?
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）??
解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的
2
一切可能结果组成的基本事件有C5＝10(个)，“抽到至少有一个87分11的同学”所组成的基本事件有C3C2＋C22＝(7个)，所以P＝
7
. 10
(2)2×2列联表如下：
优秀 不优秀 合计 2
甲班 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40 40×（6×6－14×14）2K＝＝6.4＞5.024.
20×20×20×20
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
22．(本小题满分12分)在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．
(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率．
(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率．
(3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望E(X)．
解：(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B，依题意得：
111
··S·hV小锥体34圆锥底面2圆锥1P(A)＝＝＝，
18V圆锥体
·S·h3圆锥底面圆锥7
所以P(B)＝1－P(A)＝，
8
7
所以蜜蜂落入第二实验区的概率为. 8
(2)记“蜜蜂被染上红色”为事件C，则事件B，C为相互独立事件，
又P(C)＝
1017＝，P(B)＝. 4048
177
则P(BC)＝P(B)P(C)＝×＝，
4832
7
所以恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为. 32
(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个
位置相互之间是不受影响的，所以变量X服从二项分布，
?1?
即X～B?40，8?，
??
1
所以随机变量X的数学期望E(X)＝40×＝5.
8
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