弹性力学试题

解答：平面应变问题的?z?1?z???x??y，所以?z???x??y E??????19、平面应变问题的微元体处于（C）。 A、单向应力状态 B、双向应力状态

C、三向应力状态，且?z是一主应力 D、纯剪切应力状态

解答：因为除了?x,?y以外，?z?0，所以单元体处于三向应力状态；另外?z作用面上的剪应力?zx?0，?zy?0，所以?z是一主应力

20、对于两类平面问题，从物体内取出的单元体的受力情况 有（平面应变问题的单元体上有?z ） 差别，所建立的平衡微分方程 无 差别。 21、平面问题的平衡微分方程表述的是（ A ）之间的关系。 A、应力与体力 B、应力与面力 C、应力与应变 D、应力与位移

22、设有平面应力状态，?x?ax?by，?y?cx?dy，?xy??dx?ay??x，其中a,b,c,d均为常数，?为容重。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（ D ）。 A、fx?0，fy?0 B、fx?0，fy?0 C、fx?0，fy?0 D、fx?0，fy?0

解答：代入平衡微分方程直接求解得到

23、如图所示，悬臂梁上部受线性分布荷载，梁的厚度为1，不计体力。试利用材料力学知识写出?x，?xy表达式；并利用平面问题的平衡微分方程导出?y，?xy表达式。

q1Ohh22xl

y分析：该问题属于平面应力问题；在材料力学中用到了纵向纤维互不挤压假定，即无?y存在，可以看出上边界存在直接荷载作用，则会有应力?y存在，所以材料所得结果是不精确的；在平衡微分方程二式中都含有?xy，联系着第一、二式；材料力学和弹性力学中均认为正应力?x主要由弯矩引起。

MZy2qqx3??3x3y 解：横截面弯矩：MZ??，横截面正应力?x?JZ6llh代入平衡微分方程的第一式得：?xy????x6q23q22dy?xydy?xy?f?x?（注意??x?lh3lh3未知量是x,y的函数），由?xy可见?xy???hy??2?0得出f?x???3q2x， 4lh3q2x4y2?h2 34lh??将?xy代入平衡微分方程的第二式得：?y?????xy?xdy??q4y3?3h2yx?g?x? 32lh?????yy?h2?0，g?x???qqx，?y??4y3?3h2y?h3x 32l2lh??233224、某一平面问题的应力分量表达式：?x??xy?Ax，?xy??By?Cxy，

?y??Bxy2，体力不计，试求A，B，C的值。

解答：两类平面问题的平衡微分方程是一样的，且所给应力分量是实体的应力，它对实体内任意一点均是成立的。将所给应力分量代入平衡微分方程中：

代入第一式：

32??x??yx??fx?0， ?x?y即：?y?3Ax?3By?Cx?0?0，?3A?C?x2??3B?1?y2?0

222213A?C?0，3B?1?0，B??

3代入第二式：

??y?y???xy?x?fy?0，

即：?2Cxy?3Bxy?0?0，??3B?2C?xy?0，3B?2C?0，C?

23设物体内的应力场为?x??6xy?c1x，?y??11，A?

623c2xy2，?xy??c2y3?c3x2y，2?z??yz??zx?0，试求系数c1,c2,c3。

解：由应力平衡方程的：

??x??yx??zx????6y2?3c1x2?3c2y2?c3x2?0?x?y?z ??yx??y??yz????2c3xy?3c2xy?0?x?y?z即：??6?3c2?y2??3c1-c3?x2?0 （1）

?2c3?3c2?0 （2）

有（1）可知：因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，因此，?6?3c2?0 （3）

3c1?c2?0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c1?1,c2??2,c3?3

25、画出两类平面问题的微元体受力情况图。

z?yx?xy?yfy?yxz?z?x?yx?xy?yfy?yx?xO?yfx?xyy?x?xO?yfx?xyyxx?z

26、已知位移分量函数u?k1x?y,v?k2xy，k1,k2为常数，由它们所求得形变分量不一定能满足相容方程。（×）

解答：由连续可导的位移分量按几何方程求得的形变分量也一定能满足相容方程。因为几何方程和相容方程是等价的。

27、形变状态?x?kx2?y2,?y?ky2,?xy?2kxy,?k?0?是不可能存在的。（×） 解答：所给形变分量能满足相容方程，所以该形变分量是可能存在的。 28、在y为常数的直线上，如u?0，则沿该线必有?x?0。（√）

29、若取形变分量?x?0，?y?0，?xy?kxy（k为常数），试判断形变的存在性？

22?2?x??y??xy解：利用得出0?0?k，不满足相容方程，由几何方程第一式??22?x?y?y?x?22????x??v?u?0积分得v?f2?x?，将u，v代?0，积分得出u?f1?y?，由第二式?y??y?x?u?v??kxy，相互矛盾。 ?y?x入第三式?xy???x?axy2??230、平面连续弹性体能否存在下列形变分量，a?b?c?0，??y?bxy？

???xy?cxy?2?2?xy?2?x??y??ax?by??c，相互矛盾。 解：代入相容方程有：

?x?y?y2?x2