?a2?a2?2a2?44333a2?3． 2所以二面角A31?BD?C1的余弦值为3． 解法三：
（Ⅰ）证明：如解法一图，连结AD1，AE， 设AD1?A1D?G，AE?BD?F，连结GF， 由题意知G是A1D的中点，又E是CD的中点，
?四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点，?在△AED1中，GF∥D1E，
又GF?平面A1BD，D1E?平面A1BD，
?D1E∥平面A1BD．
（Ⅱ）如图，在四边形ABCD中，设AD?a， ?AB?AD，AD?DC，AB∥DC， ?AD?AB． 故BD?2a，由（Ⅰ）得
BC2?BE2?EC2?a2?a2?2a2，DC?2a， ?∠DBC?90?，即BD?BC．
又BD?BB1，
?BD?平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1，
?BD?BC1，
取DC1的中点M，连结A1F，FM， 由题意知：?FM∥BC1，
?FM?BD．
又A1D?A1B，?A1F?BD．
D1
H C1A1 B1
M D
E
F C A B
?∠A1FM为二面角A1?BD?C1的平面角．
连结A1M，在△A1FM中， 由题意知：
A1F?32116a，FM?BC1?BC2?CC12?a， 2222取D1C1的中点H，连结A1H，HM， 在Rt△A1HM中，
?A1H?2a，HM?a， ?A1M?3a．
A2?cos∠A1F2?FM?A1M21FM?2A
1F?FM92a2?3a2?3a2?2 2?32a?62a?33． ?二面角A31?BD?C1的余弦值为
3． （20）（本小题满分12分）
解法一：如图，连结A1B1，由已知A2B2?102，
A201A2?302?60?102，
?A1A2?A2B1，
又∠A?1A2B2?180?120??60?，
?△A1A2B2是等边三角形， ?A1B2?A1A2?102，
由已知，A1B1?20，
北 120? A2B2 105? AB11 乙 甲
∠B1A1B2?105??60??45?，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B2?A1B2?cos45?
?202?(102)2?2?20?102?2 2?200． ?B1B2?102．
因此，乙船的速度的大小为102?60?302（海里/小时）． 20答：乙船每小时航行302海里．
解法二：如图，连结A2B1，由已知A1B2?20，A1A2?302?20?102，60∠B1A1A2?105?，
cos105??cos(45??60?)
?cos45?cos60??sin45?sin60? 2(1?3)?，
4sin105??sin(45??60?)
北 120? A
2B2 ?105? A
1?sin45cos60?cos45sin60 ?2(1?3)．
4???B1 乙
甲
在△A2A1B1中，由余弦定理，
22A2B12?A2B2?A1A2?2A1B1?A1A2?cos105?
?(102)2?202?2?102?20??100(4?23)．
2(1?3)
4?A1B1?10(1?3)．
由正弦定理
sin∠A1A2B1?A1B1202(1?3)2?sin∠B1A1A2???， A2B24210(1?3)?∠A1A2B1?45?，即∠B1A2B1?60??45??15?，
cos15??sin105??2(1?3)．
4在△B1A1B2中，由已知A1B2?102，由余弦定理，
22B1B2?A1B12?A2B2?2A2B1?A2B2?cos15?
?102(1?3)2?(102)2?2?10(1?3)?102?2(1?3)
4?200． ?B1B2?102，
乙船的速度的大小为
102?60?302海里/小时． 20答：乙船每小时航行302海里． （21）（本小题满分12分）
x2y2解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab由已知得：a?c?3，a?c?1，
?a?2，c?1，
?b2?a2?c2?3．
x2y2?1． ?椭圆的标准方程为?43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?y?kx?m，?联立?x2y2
?1.??3?4得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，
222
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