2019-2020学年天津市武清区数学高二(下)期末联考试题含解析

2019-2020学年天津市武清区数学高二(下)期末联考试题

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合M?xx?1，N?xx?x?0，则（ ） A．MIN?xx?1 C．M?N 【答案】D 【解析】 【分析】

求解不等式x2?x?0可得N??x|0?x?1?，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可. 【详解】

求解不等式x2?x?0可得N??x|0?x?1?， 则：MIN??x|0?x?1?，选项A错误；

???2???B．MUN?xx?0 D．N?M

??M?N??x|x?1?，选项B错误； N?M，选项C错误，选项D正确；

故选：D. 【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．已知抛物线y2?2px(p?0)上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为32，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，则?MOF的内切圆半径为 A．2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，

到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为AM?AF最小， 当A、F、M三点共线时取最小值． 所以FM?32，解得F（2，， 0）B．3 C．2?1

D．2?2 由内切圆的面积公式S??a?b?c?r，解得

2r?2?2．故选D．

3．设函数f(x)＝A．

B．

，若f′(－1)＝4，则a的值为( )

C．

D．

【答案】D 【解析】 【分析】

由题，求导，将x=-1代入可得答案. 【详解】 函数解得

的导函数

，因为f′(－1)＝4，即

，

故选D 【点睛】

本题考查了函数的求导，属于基础题.

4．如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选．．．．．．．．．择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）

A．56 【答案】D 【解析】

B．72 C．64 D．84

分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色两大类. 详解：分两种情况：

（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余3×2×的2中颜色中任意取一色）：有4×2=48种；

（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的33×1×中颜色中任意取一色）：有4×3=36种． 共有84种，故答案为：D.

点睛：(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.

5．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示： 秃发 有心脏病 无心脏病 20 300 450 2不秃发 5 775??20?450?5?300?2根据表中数据得K2??15.968，由K?10.828断定秃发与患有心脏病有

25?750?320?455关，那么这种判断出错的可能性为（ ） 附表：

P?k2?k0? 0.10 k0 A．0.1 C．0.01 【答案】D 【解析】 【分析】

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 B．0.05 D．0.001

根据观测值K2，对照临界值得出结论． 【详解】

由题意，K2?10.828，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001. 故选D．

【点睛】

本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题． 6．在极坐标系中，方程??sin?表示的曲线是（ ） A．直线 【答案】B 【解析】

222方程??sin?，可化简为：???sin?，即x?y?y.

B．圆 C．椭圆 D．双曲线

整理得x?(y?)?故选B.

2122111，表示圆心为(0, )，半径为的圆. 4227．随机变量a服从正态分布N1,??2且P?0?a?1??0.3000.已知a?0,a?1，则函数y?a?，

x?1?a图象不经过第二象限的概率为( ) A．0.3750 【答案】C 【解析】

B．0.3000

C．0.2500

D．0.2000

Qy?ax?1?a图象不经过第二象限，?1?a??1,?a?2，随机变量?服从正态分布N?1,?2?，且

P?0?a?1??0.3000,?P?1?a?2??0.3000,?P?a?2??y?ax?1?a图象不经过第二象限的概率为

?1?1?0.6000??0.2000，?函数20.2?0.2500，故选C.

1?0.28．已知函数f(x)?sin(2x?)，将其图象向右平移?(??0)个单位长度后得到函数g?x?的图象，若函

3数g?x?为偶函数，则?的最小值为（ ） A．

?12 B．

5? 12C．

? 6D．

5? 6【答案】B 【解析】 【分析】

由平移变换得到g(x)?sin(2x?2??)，由偶函数的性质得到sin(2x?2??)??1，

33从而求?min?【详解】

由题意得：g(x)?sin[2(x??)?)]?sin(2x?2??)， 33因为g(x)为偶函数，所以函数g?x?的图象关于x?0对称，

??5?. 12??所以当x?0时，函数g?x?取得最大值或最小值，所以sin(?2??)??1，

3所以?2????3?k???2,k?Z，解得：???k???,k?Z， 212因为??0，所以当k??1时，?min?【点睛】

5?，故选B. 12平移变换、伸缩变换都是针对自变量x而言的，所以函数f(x)向右平移?(??0)个单位长度后得到函数

g?x?，不能错误地得到g?x??sinx(2x??3??).

9．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（ ）

A．

? 4B．

1 2C．1 D．2

【答案】B 【解析】 【分析】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案. 【详解】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小

111V???1?1?3?

322故答案选B 【点睛】

本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.

10．已知三个正态分布密度函数

1?i?x??e2??i??x??i?2?i22（

,

i?1,2,3）的图象如图所示则（ ）

A．?1??2=?3，?1=?2??3 B．?1??2=?3，?1=?2??3 C．?1??2??3，?1??2??3 D．?1??2=?3，?1=?2??3 【答案】D 【解析】 【分析】

正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果． 【详解】

根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为

1?i?x??e2??i只能从A，D两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，

??x??i?2?i22，则对应的函数的图像的对称轴为：?i，

∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，

∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，

得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选D． 【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．

2x311．函数y?x在??6,6?的图像大致为 ?x2?2A． B．

C． D．

【答案】B 【解析】 【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由f(4)的近似值即可得出结果． 【详解】

2(?x)32x32x3设y?f(x)?x，则f(?x)??x??x??f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原x?x?x2?22?22?22?432?63点成中心对称，排除选项C．又f(4)?4?0,排除选项D；f(6)?6?7，排除选项A，故?4?62?22?2选B． 【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

12．已知f（x）＝lgx，则f（2）等于（ ） A．lg2 B．lg32 C．lg【答案】D 【解析】

试题分析： 令x＝t，则x＝t （t>0），

11∴f（t）＝lgt＝lgt．∴f（2）＝lg2，故选D．

551555

11 D．lg2

53215考点：函数值

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．如图所示的流程图中，输出的结果S为________.

【答案】25 【解析】 【分析】

按照程序框图的流程，写出每次循环后得到的结果，并判断每个结果是否满足判断框的条件，直到不满足条件，输出即可. 【详解】

经过第一次循环，S?1,i?3；经过第二次循环，S?4,i?5；经过第三次循环，S?9,i?7；经过第四次循环，S?16,i?9；经过第五次循环，S?25,i?11；此时已不满足条件，输出.于是答案为25. 【点睛】

本题主要考查循环结构程序框图的输出结果，难度不大. 14．函数f（x）＝1-log3x的定义域是 ． 【答案】（0，3］ 【解析】

?1?log3x?0试题分析：要使函数解析式有意义需满足?，即0?x?3，故定义域为（0，3］.

x?0?考点：对数函数.

15．设随机变量ξ的分布列为Pξ?k?c,k?1,2,3,c为常数，则P?0.5?ξ?2.5??______

k?k?1?【答案】【解析】 【分析】

8 9由已知得【详解】

ccc4cc8??=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）=?=． 26123269c随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，

k?k?1?ccc??=1， 26126c?2c?c4?1，解得c=， 即

123∴

∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）

cc448?=?=． 266398故答案为．

9=【点睛】

本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．

ex16．已知曲线f?x??在点P处的切线为y?ax，则点P的坐标为__________．

x?e2?

【答案】?2,?.

?2?

【解析】

?e分析：设切点坐标为?x0,x0?x0?ex?x?1??，求得f'?x??2x?ex0e?x0?1??a且x0，利用可得结果. 2?ax0x0x0?ex0?详解：设切点坐标为?x0,?，

x0??exex?x?1?由f?x??得f'?x??， 2xx?ex0?x0?1??a?2x0?x0?2?2?x?e2??e0??e，y0?，

a?2??4??x0?a??x0?e2??e2?即P?2,?，故答案为?2,?.

?2??2?点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点Ax0,f?x0???求斜率k,即求该点处的导数k?f??x0?；(2) 己知斜率k求切点Ax1,f?x1?,即解方程f??x1??k；(3)

??巳知切线过某点Mx1,f?x1?(不是切点) 求切点, 设出切点Ax0,f?x0?,利用

????k?f?x1??f?x0?x1?x0?f??x0?求解.

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）

17．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.

（Ⅰ）求随机变量?分布列；

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

【答案】（Ⅰ）?的分布列为 ε P (Ⅱ)P(AB)?【解析】 【分析】 【详解】

(Ⅰ)由题意知，?的可能取值为0，1，2，3,且

0 1 2 3 2221，乙队中3人答对的概率分别为,,且各人正确与否

332334 24312?2?2?2?1P(??0)?C??1???,P(??1)?C3???1???

3?3?9?3?2703328?2??2?43?2? P(??2)?C32?????1???,P(??3)?C3?????3??3?9?3?27所以?的分布列为 ε P 0 1 2 3 233（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

2?2??211121111?10P(C)?C32?()2??1??????????????4

3?3??332332332?32?111?43P(D)?C3?()3?????5

3?332?3由互斥事件的概率公式得

P(AB)?P(C)?P(D)?1043434?5?5? 433324318．近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．

由统计图表可知，可用函数y＝a?bx拟合y与x的关系 （1）求y关于x的回归方程；

（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次． 附：①参考数据

x y v ?i?17xi2 ?xy iii?17?xv iii?174 360 2.30 140 14710 71.40 17表中vi＝lgyi，v??lgyi

7i?1②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小

?二乘估计分别为β??【解析】

ni?1iin2i?1iuv?nuvu?nu2，α?v??u．

【答案】（1）y＝100.2x+1.1；（2）预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次

【分析】

（1）先对y＝a?bx两边同取以10为底的对数，得到v＝xlgb+lga，再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb和lga，从而得到a,b，再写出y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）所得的线性回归方程，得到100.2x+1.1＞10000，解出x的范围，得到答案. 【详解】

（1）由y＝a?bx，两边同时取以10为底的对数， 得lgy＝lga+xlgb，即v＝xlgb+lga， 由最小二乘法得：lgb???7i?1ii72ii?1xv?7xvx?7x2?71.40?7?4?2.30?0.25． 2140?7?4∵v＝xlgb+lga过点（4，2.10）， ∴lga＝2.10﹣0.2×4＝1.1． ∴a＝101.1，b＝100.2．

∴y关于x的线性回归方程为y＝101.1?100.2x＝100.2x+1.1； （2）由100.2x+1.1＞10000，得0.2x+1.1＞4，解得x＞10.3．

又∵x∈N*，∴预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次． 【点睛】

本题考查最小二乘法求线性回归方程，以及根据线性回归方程进行估算，属于简单题.

19．在四棱锥S?ABCD中，AD//BC，AC?BC，AC?SD?2AD?2BC?2SC，E为棱SC上一点（不包括端点），且满足AE?AD.

（1）求证：平面SAC?平面ABCD；

（2）F为SD的中点，求二面角F?AC?B的余弦值的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）?【解析】 【分析】

（1）根据传递性，由BC⊥平面SAC，得到平面SAC?平面ABCD

（2）作SO?AC于点O，过点O作Ox//BC，建立空间直角坐标系，求出各平面法向量后根据夹角公式求得二面角余弦值

27.

7【详解】

（1）证明：因为AD∥BC，AE?AD，所以BC⊥AE， 又AC?BC，AC?AE?A，所以BC⊥平面SAC， 又BC?平面ABCD，所以平面SAC?平面ABCD.

（2）

如图，作SO?AC于点O，过点O作Ox//BC， 则Ox，OC，OS两两垂直，故以O为坐标原点，

直线Ox，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. 设BC?1，则SC?1，SD?2，AD?1，所以SA?3， 又AC?2，所以SA?SC，SO?33，AO?，

22?3?3?3????1?A0,?,0D?1,?,0CS0,0,O(0,0,0)所以，?，???，??，?0,,0?. ??2?2?2????2???133?因为F为SD的中点，所以F???2,?4,4??.

??uuuv?133?uuuvAF???,,?244??，AC?(0,2,0)，

??r令n?(x,y,z)为平面FAC的法向量，

v?1vuuu33?n?AF?0,??x?y?z?0,v则有?vuuu即?2 44?n?AC?0,?2y?0,?r?3?不妨设z?3，则n??,0,3?.

?2?uuuv?3?易知平面ABC的一个法向量为OS???0,0,2??，

??vvuuuuuuvn?OSvcos?n,OS??vuuuv?nOS3272?. 7213?22因为二角F?AC?B为钝角， 所以二面角F?AC?B的余弦值为?【点睛】

本题考查面面垂直证明与二面角的求法，如何建立空间直角坐标系是解题关键 20．已知曲线C的参数方程?27. 7?x?2cos?（?为参数），在同一直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变

y?3sin????1x?x??2换?得到曲线C?. ?y??1y?3?（1）求曲线C?的普通方程；

（2）若点A在曲线C?上，已知点B?2,0?，求直线AB倾斜角的取值范围.

????5??22，?? x?y?1【答案】（1）（2）?0,????6??6?【解析】 【分析】

（1）按照坐标变换先得到曲线的参数方程，再化简为普通方程. （2）先计算AB与圆相切时的斜率，再计算倾斜角的范围. 【详解】

??1x?x??x??cos??2Q,?(1)? ??1y?sin??y??y??3?消去?得C?的普通方程x?y?1 （2）当AB与圆相切时，∠ABO?30o

22????5??33，??. 或—，直角倾斜角的取值范围为?0,????k??6??6?33【点睛】

本题考查了参数方程，坐标变换，倾斜角范围，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．已知平面内点P?x,y?到点F的距离和到直线x?2的距离之比为（，10）C．

（I）求曲线C的方程；

2，若动点P的轨迹为曲线2（II）过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：?OMA??OMB． （2，0）x2【答案】（I）?y2=1（II）见解析

2【解析】 【分析】

（I）根据题目点P?x,y?到点F的距离和到直线x?2的距离之比为（，10）简可得轨迹C的方程；

（II）对直线l分l?x轴、l与x轴重合以及l存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，当l存在斜率且斜率不为零时，利用点斜式设直线方程，与曲线C的方程进行联立，结合韦达定理，可推得kMA?kMB?0，从而推出?OMA??OMB． 【详解】

解：（I）∵P(x,y)到点F(1,0)的距离和到直线x?2的距离之比为

2，列出相应的等式方程，化22. 2(x?1)2?(y?0)22∴，x?2. ?|x?2|2x2化简得：?y2=1．

2x2故所求曲线C的方程为：?y2=1.

2（II）分三种情况讨论：

1、当l?x轴时，由椭圆对称性易知：?OMA??OMB．

2、当l与x轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：?OMA??OMB?0 3、设l为：y?k(x?1)，k?0，且Ax1,k?x1?1?，Bx2,k?x2?1?，

?????y?k(x?1)?22222k?1x?4kx?2k?2?0， 由?x2化简得：??2??y?1?24k22k2?2∴x1+x2=，x1x2? 222k+12k?1设MA,MB，所在直线斜率分别为：kMA，kMB，则

kMA?kMB?k?x1?1??0x1?2?k?x2?1??0x2?2?k?2x1x2?3?x1?x2??4x1x2?2?x1?x2?

2k2?24k22?2?3?2?42k?12k?1?k? 2k2?24k2?2?22k2?12k?14k2?4?12k2?8k2?4 ?k??6k2?2?0

此时，?OMA??OMB．

综上所述：?OMA??OMB. 【点睛】

本题主要考查了利用定义法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题．解决直线与圆锥曲线位置关系中常用的数学方法思想有方程思想，数形结合思想以及设而不求的整体代入的技巧与方法．

22．已知以点M为圆心的圆经过点A(?1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆M于点C和D，且

CD?210．

（1）求直线CD的方程； （2）求圆M的方程．

22【答案】（1）x?y?3?0；（2）x2?(y?3)2?10或(x?2)?(y?1)?10.

【解析】 【分析】

（1）先求得直线AB的斜率和AB的中点，进而求得CD斜率，利用点斜式得直线CD 方程．

（2）设出圆心M的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a和b的等式综合求得a和b，则圆的方程可得． 【详解】

（1）Q直线AB的斜率k?1，AB的中点坐标为?1,2?

?直线CD的方程为x?y?3?0

（2）设圆心M?a,b?，则由点M在CD上，得a?b?3?0．① 又Q直径CD?210，? MA?10，??a?1??b2?10．②

2?a?0?a?2由①②解得?或?，?圆心M?0,3?或?2,1?

b?3b?1???圆M的方程为x2??y?3??10或?x?2???y?1??10

【点睛】

222本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．