专题20 立体几何大题（解析版）
立体几何解答题高考中的必考题，占12分，一般考察立体几何知识掌握情况及解答技巧。如线面垂直、面面垂直、线面平行，线面角、二面角等问题。 立体几何解答题中的易错和易混点
易错点1：求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法；
易错点2：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见；
易错点4：求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 易错点5：求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 易错点6： 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90° 直线与平面所成的角的范围：0o≤α≤90°
二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°
易错点7：用向量法求线面角得的是正弦值，而不是余弦值；
易错点8：用向量法求二面角时，最后一步忘了判断二面角的平面角是钝角还是锐角，导致结果错误。 题组一 1．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8， 点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图： （Ⅱ）作EM?AB，垂足为M， 则AM?A1E?4,EM?AA1?8 因为EHGF为正方形，所以EH?EF?BC?10
EH2?EM2?6，所以AH?10
uuur以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向， 建立如图所以的空间直角坐标系D?xyz，则
uuuruuurA(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE?(10,0,0),HE?(0,?6,8) 设n?(x,y,z)是平面EHGF的法向量，则
uuur??ngFE?0,?10x?0,即? r?uuu?6y?8z?0,??ngHE?0,?所以可取n?(0,4,3) uuur又AF?(?10,4,8)，
uuuruuur|ngAF|45uuur?故|cos?n,AF?|? |n||AF|15于是MH?所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为
415 15所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
2． 4P2.（2016全国III）如图，四棱锥P?ABCD中，
PA⊥底面ABCD，ADPBC，AB=AD?AC?3，
PA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD， N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MNP平面PAB；
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）由已知得AM?NAMD2BAD?2，
C3取BP的中点T，连接AT,TN．
1由N为PC中点知TN//BC，TN?BC?2．
2又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT．
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN//平面PAB．
（Ⅱ）取BC的中点E，连结AE，由AB?AC得AE?BC，从而AE?AD，
BC2222)?5． 且AE?AB?BE?AB?(2uuur以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，由题意知，
P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5,2,0)，N(uuuur5PM?(0,2,?4)，PN?(,1,?2)，
25AN?(,1,2)．
25,1,2)， 2ruuuur?2x?4z?0r?n?PM?0??设n?(x,y,z)为平面PMN的法向量，则?ruuu，即?5， rx?y?2z?0???n?PN?0?2r可取n?(0,2,1)，
ruuurruuur|n?AN|85r?于是|cos?n,AN?|?ruuu．
|n||AN|25所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为85 25A1C1题组二
3.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，
AA1?AC?CB?2AB 2EADBB1C（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD；
（Ⅱ）求二面角D?A1C?E的正弦值．
【解析】（Ⅰ）连结AC1，交D,E分别是AB,BB1的中点，A1C于点O，
连结DO，则O为AC1的中点，
因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD?平面A1CD，
BC1?平面A1CD，所以BC1 //平面A1CD；
（Ⅱ）由AA1=AC=CB=
2AB可设：AB=2a，则AA1=AC=CB=2a， 2所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图， 则C(0,0,0)、A1(2a,0,2a)、
A1zC12a2a2aD(,,0)、E(0,2a,)， B1222FuuurCA1?(2a,0,2a)，
Euuuruuur2a2a2axCA)， CD?(,,0)，CE?(0,2a,222DyBuuur2aA1E?(?2a,2a,?)，
2ruuurrruuur设平面A1CD的法向量为n?(x,y,z)，则n?CD?0且n?CA1?0，
r可解得y??x?z，令x?1，得平面A1CD的一个法向量为n?(1,?1,?1)，
ur同理可得平面A1CE的一个法向量为m?(2,1,?2)，
rurrur36则cos?n,m??，所以sin?n,m??，
336所以二面角D-A1C-E的正弦值为．
3
4．（2012新课标）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，
C1A1B11AA1，D是棱AA1的中点，DC1?BD． 2（Ⅰ）证明：DC1?BC；
（Ⅱ）求二面角A1?BD?C1的大小． AC?BC?
?【解析】（Ⅰ）在Rt?DAC中，AD?AC，得：?ADC?45
同理：?A1DC1?45??CDC1?90
??DCBA得：DC1?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC （Ⅱ）DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC 取A1B1的中点O，过点O作OH?BD于点H，连接C1O,C1H
AC11?B1C1?C1O?A1B1，面A1B1C1?面A1BD?C1O?面A1BD OH?BD?C1H?BD 得：点H与点D重合
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