第一章 1.3 1.3.2
一、选择题
1．如果三个球的半径之比是( )
5
D．倍
9C．2倍 [答案] B
36π9
[解析] 设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝. 20π5
2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A．1 C．3 [答案] A
4π4π???3R3＋3r3＝12π?R＝2
[解析] 设两球的半径分别为R、r(R>r)，则由题意得?，解得?.
?r＝1???2πR＋2πr＝6π
B．2 D．4 9
B．倍
5D．3倍
，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的
故R－r＝1.
3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
D．C．
6π 6
2π 2
B．
π 2
3πD．
2π
[答案] A
a
[解析] 由6a＝4πR得＝R
2
2
2πV1a33，∴＝＝?3V2434π?πR3
6π2π?3＝. 63?
4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )
π
D．
3πC． 2[答案] C
4
[解析] 设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a2＝4R2，∴a2＝R2，
3
π
B．
4D．π
4π
球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积 S2＝6a2＝6×R2＝8R2，∴S1S2＝.
325．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A．C．
3 3
B．D．
[答案] C
13
[解析] 设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，
22故所求体积之比为
3.
6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 C．4πRr [答案] C
[解析] 解法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，
222
DC＝R＋r.由勾股定理得4r21＝(R＋r)－(R－r)，解得r1＝Rr.故球的表面积为D球＝4πr1＝
B．4πr2R2 D．π(R＋r)2
4πRr.
解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA、OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r21＝Rr，故r1＝Rr，故球的表面积为S球＝4πRr. 二、填空题
9π7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________.
2
[答案]
3
[解析] 设正方体棱长为a，球半径为R， 49π3
则πR3＝，∴R＝，∴3a＝3，∴a＝3. 322
8．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________.
[答案]
36 π
4
[解析] 设球O的半径为r，则πr3＝23，
3
36解得r＝. π三、解答题
9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小.
[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.
4
由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，
33331∴R＝a，r＝a，
4π2π
3923?33?22
∴S2＝4π?a?＝4π·16π2a＝36πa，
?4π?3123?31?22
S3＝6π?a?＝6π·4π2a＝54πa，
?2π?∴S2 33又6a2>32πa2＝54πa2，即S1>S3. ∴S1、S2、S3的大小关系是S2 10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积. [解析] 该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 4413π 该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝. 333 一、选择题 1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( ) [答案] B [解析] 选项D为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B． 2．若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为( ) π D． cm3 64π C． cm3 3[答案] A [解析] 设球的半径为R，正方体的棱长为a， 1 ∴6a2＝6，∴a＝1.∴2R＝1，∴R＝. 2441π ∴球的体积V＝πR3＝π×()3＝. 3326 3．一个球与一个上、下底为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，32π 已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( ) 3 A．963 C．243 [答案] D [解析] 由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三4 角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝×πr3 332π1 ＝解r＝2.S底＝×a×32 a21 a－＝a·r×3，得a＝23r＝43，所以V柱＝S底·2r＝483. 42 2 B．D． 6π cm3 86π cm3 6 B．163 D．483 4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
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