习题1.2 1．
dydx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：
dyy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c y=e
x2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= ex2.
2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy
dy1y2dy=-x?1dx 两边积分: -
1y=-ln|x+1|+ln|c| y=1ln|c(x?1)|
另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
1ln|c(x?1)|
dy1?y23．dx=xy?x3y
解：原方程为：dydx=1?y21yx?x3
1?y21ydy=x?x3dx 两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：
1?yx?1ydy=-xdx
两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
1
dydx=-x?yx?y
令
ydydux=u 则dx=u+xdx 代入有：
-u?11u2?1du=xdx
ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctgyx2. 6. x
dy-y+x2?y2dx=0 解：原方程为：
dydx=yx+|x|x-1?(y2x)
则令
ydyx=u dudx=u+ xdx
1 du=sgnx
11?u2xdx arcsin
yx=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
dytgy=dxctgx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=
1cccosx=cosx 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c. y2?3x8
dyedx+y=0
dyey2 解：原方程为：dx=3xye
2 e
3x-3e
?y2=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：
dyyydx=xlnx 令yx=u ,则dydudx=u+ xdx
2
u+ x
dudx=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
yx=cy. 10.
dydx=ex?y 解：原方程为：
dyx?dx=eey ey=cex
11
dy=(x+y)2dx 解：令x+y=u,则
dydudx=dx-1 du2dx-1=u 11?u2du=dx arctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c
12.
dydx=1(x?y)2 解：令x+y=u,则dydx=dudx-1
du1dx-1=u2 u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.
dy2x?y?1dx=x?2y?1 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c xy-y2+y-x2-x=c
14:
dyxdx=?y?5x?y?2 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(
12y2+2y)-d(122x+5x)=0
3
y2+4y+x2+10x-2xy=c.
15: dydx=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy?1 解：原方程为：dydx=（x+4y）2+3
令x+4y=u 则dy1dudx=4dx-14
1du14dx-4=u2+3 dudx=4 u2+13 u=32tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=23(x+4y+1).
16:证明方程
xdyydx=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+x2y2)dx=xdy
2） xdy2?x2 y2 ydx=2-x2y2
证明： 令xy=u,则xdydudx+y=dx 则dy1duudx=xdx-x2，有：
xduudx=f(u)+1
1u(f(u)?1)du=1xdx
所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则
dydx=1duuxdx-x2 (1) 原方程可化为：dyy2dx=x[1+（xy）] (2)
将1代入2式有：1duxdx-uu2x2=x(1+u)
u=u2?2+cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为：
4
x= xy00 -
y' y= y0 - x0 y’ 则 x=2 xy00 = x0 -
y' 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中? =
?4 。 解：由题意得：y’=
y11x ydy=x dx
ln|y|=ln|xc| y=cx. ? =
?4 则y=tg?x 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx 则：y=kx2 +c 即为所求。
常微分方程习题2.1 1.
dydx?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得
12ydy?2xdx,两边同时积分得：lny?x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2c?1,故它的特解为y?ex。
2.y2dx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：
?1x?1dx?111y2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1?y?c,即y?c?lnx?1当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是y?11?ln1?x。23
dy1?dx?yxy?x3y 解：原式可化为：
5
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