考点：圆的切线的性质定理的证明。 专题：计算题。
分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果． 解答：解：∵∠BAC=∠APB， ∠C=∠BAP， ∴△PAB∽△ACB， ∴
2
∴AB=PB?BC=7×5=35， ∴AB=， 故答案为：
点评：本题可选圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质，本题是一个综合题目．
三、解答题（共1小题，满分12分） 16．（2011?广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣（1）求f（
）的值；
]，f（3α+
）=
，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．
），x∈R
（2）设α，β∈[0，
考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数。 专题：计算题。 分析：（1）把x=（2）分别把x=3α+
代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；
和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根据α和β的
范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 解答：解：（1）把x=f（
）=2sin（×
）=
代入函数解析式得： ﹣
）=2sin
=
；
（2）由f（3α+2sin[（3α+sinα=
，f（3β+2π）=，代入得： ]=2sinα=
，2sin[（3β+2π）﹣]，
]=2sin（β+
）=2cosβ=
）﹣
，cosβ=，又α，β∈[0，
，sinβ=，
所以cosα=
则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．
点评：此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
17．（2011?广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量． （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）． 考点：离散型随机变量的期望与方差。[来源:www.shulihua.net] 专题：计算题；应用题。 分析：（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可． （2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．
（3）ξ的所有可能取值为0，1，2．由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布． 解答：解：（1）甲厂抽取的比例
=，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件．
（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件， 故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件．
（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C5=10种 ξ的所有可能取值为0，1，2． P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=
， =
， ，
2
∴ξ的分布列为：
故Eξ=
．
点评：本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力． 18．（2011?广东）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点
（1）证明：AD⊥平面DEF
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法。 专题：常规题型；综合题。 分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；
（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理． 解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=发现AG+BG=AB，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG ∴DE⊥AD，
又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G， ∴AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG， ∴AD⊥PB，又PB∥EF， ∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．
（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在△PBG中，PG=由余弦定理得 cos∠PGB=
，因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为
．
，BG=
，PB=2，
2
2
2
，
点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．
19．（2011?广东）设圆C与两圆（x+（1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点M（
，
），F（
）+y=4，（x﹣
2
2
）+y=4中的一个内切，另一个外切．
22
，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．
考点：圆方程的综合应用。
专题：综合题；转化思想。 分析：（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知||MT1|﹣|FT1||=|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|﹣|FT2||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|﹣|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，||MP|﹣|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T1的坐标． 解答：解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（﹣，0）、F2（，0），
由题意得：|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2， ∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2
222
因此a=2，c=，则b=c﹣a=1， 所以轨迹L的方程为
﹣y=1；
2
的双曲线，
（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），
即y=﹣2（x﹣），代入
﹣y=1，解得：x1=
，﹣
2
，x2=），T2（
， ，
），
故直线l与双曲线L的交点为T1（
因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|﹣|FT1||=|MF|=||MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2， 综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（
，﹣
）．
=2，
点评：此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题． 20．（2011?广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，an≤
+1．
（n≥2）．
考点：数列与不等式的综合；数列递推式。 专题：证明题；综合题。
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