第8课时 数学归纳法

第8课时 数学归纳法(2)

教学目标: 1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤;

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题; 3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

难点：归纳→猜想→证明.

教学过程：一.问题情境

问题1：数学归纳法的基本思想？

以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程.（递推关系） 问题2：数学归纳法证明命题的步骤？

（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；

（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）

证明当n=k+1时结论也正确.（归纳证明）

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题.

二.数学运用

1222n2an2?n?????例1.是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正1?33?5(2n?1)(2n?1)bn?2整数n都成立,并证明你的结论.

3a?b??1a?1 ,?{10a?3b??2b?4 1222n2n2?n?????(n?N*) 以下用数学归纳法证明:

1?33?5(2n?1)(2n?1)4n?2解:令n=1,2,并整理得{(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.

1222k2k2?k?????. (2)假设当n=k时结论正确,即:

1?33?5(2k?1)(2k?1)4k?2则当n=k+1时,

1222k2(k?1)2?????1?33?5(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?3)k2?k(k?1)2k(k?1)(2k?3)?2(k?1)2???4k?2(2k?1)(2k?3)2(2k?1)(2k?3) 2(k?1)(2k?3k?2k?2)(k?1)(2k?1)(k?2)??2(2k?1)(2k?3)2(2k?1)(2k?3)k2?3k?2(k?1)2?(k?1)??.4k?64(k?1)?2故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.

变式练习:设f(n)=1+

111?????,求证n+f(1)+f(2)+?f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2) 23n说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系.

例2.用数学归纳法证明: 2n?n2(n?4,n?N*).

例3.设n?N*,

f(n)?5n?2?3n?1?1.

f(n)的值;(2)你对f(n)的值有何猜想? 用数学归纳法证明你的

(1)当n?1,2,3,4时,计算猜想.(课本例4)

变式练习:用数学归纳法证明：(3n?1)?7n?1能被9整除. 四.回顾小结:

1.猜归法是发现与论证的完美结合

数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳→猜想→证明. 2.两个注意：

（1）是否用了归纳假设？

（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？ 五. 推理与证明作业8答案:

1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证 . n=3

2．用数学归纳法证明1?111????n?n(n?N,n?1), 第二步证明从“k到k+1”，232?1左端增加的项数是 . 3.用数学归纳法证明:1?11111111??????????? 2342n?12nn?1n?22n(1)当n=1时,左边有_____ 项,右边有_____ 项；

(2)当n=k时,左边有____ _项,右边有____ _项； (3)当n=k+1时,左边有___ __项,右边有__ ___项；

(4)等式的左边,由n=k到n=k+1时增加的项是 ; (5)等式的右边,由n=k到n=k+1时增加的项是 ; 4．用数学归纳法证明:(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?3?5?(2n?1).(n?N*)

5．是否存在常数a，b，c，使等式

n(n?1)(an2?bn?c)对n?N+都成立，并证明你的结论. 12简解: 令n=1得a?b?c?24①， 令n=2得4a?2b?c?44②，

令n=3得9a?3b?c?70③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为

n(n?1)2(3n?11n?10)（证明略）. Sn，用数学归纳法证明猜想Sn?1211116.求证:1?2?2???2?2?(n?N,n?2).

23nn151353证:(1)当n=1时,左边=1?2? ,右边=2??,由于?,故不等式成立.

242242

1?22?2?32???n(n?1)2?(2)假设n=k(k?N,k?2)时命题成立,即

1?1111?????2?. 2232k2k则当n=k+1时,

1?111111??????2?? 2222223k(k?1)k(k?1)111111112???2???2??(?)?2?. 2k(k?1)kk(k?1)kkk?1k?1即当n=k+1时,命题成立.

由(1)、(2)原不等式对一切n?N,n?2都成立.