1.2 椭圆的简单性质 课后训练案巩固提升
A组
1.设椭圆
=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程a2+b-c=0的两个实根分别为1和2,则点
P(1,2)( )
A.必在圆+y=2内 B.必在圆+y=2上 C.必在圆+y=2外 D.以上三种情形都有 解析∵e=,∴2
22
22
2
.∵a2=b2+c2,∴b2=a2.
,1·2=-,
∵1+2=-∴=(1+2)2-212=+1=<2.
∴P点在圆2+y2=2内.
答案A
2.已知对∈R,直线y--1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(5,+∞)
C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5)
解析直线y--1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且
m>0,得m≥1.又m≠5,故选C.
答案C
3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A. B. C.-1 D.
解析由题意得|AF1|=,|AF2|=|BF2|.
∵△ABF2是等腰直角三角形,
∴|AF1|=|F1F2|,即∴b2=a2-c2=2ac.
整理得e+2e-1=0,∴e=答案C
2
=2c.
-1.
4.焦点在轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.+y=1
2
C.=1 D.+=1
2
解析依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=答案A
,故所求椭圆的标准方程是=1.
5.若点O和点F分别为椭圆 A.2
( ) B.3
=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为
C.6 D.8
解析由椭圆方程得F(-1,0),设P(0,y0),
则
=(0,y0)·(0+1,y0)=+0+.
∵P为椭圆上一点,∴=1.
∴∵-2≤0≤2,∴答案C
+0+3+0+3=(0+2)+2.
2
的最大值在0=2时取得,且最大值等于6.
6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2是 . 解析由已知,得a=2b,c=2
2
2
,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程
,又a-b=c,
222
故b=4,a=16,又焦点在轴上,
故椭圆方程为=1.
答案=1
7.导学号90074059已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),
若椭圆上存在点P使解析如图所示,
,则该椭圆的离心率的取值范围为 .
e=∵|PF2| -1. ∴e=-1>-1,即e>-1, ∴e2+2e-1>0. 又∵0 -1 -1,1) 8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为椭圆G的方程为 . ,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则 解析由题设,知2a=12,,∴a=6,c=3.∴b=3. 答案=1 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6); (2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6. 解(1)设椭圆的标准方程为 且椭圆过点(2,-6), =1或=1(a>b>0).由已知a=2b, ① 从而有=1或=1. ② 由①②,得a=148,b=37,或a=52,b=13. 2222 故所求椭圆的方程为=1或=1. (2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b, ∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18. 故所求椭圆的方程为=1. 10.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率. 解(方法一)由题意,直线AB的方程为 即b-ay+ab=0. =1, ∵焦点F1到直线AB的距离d=, ∴. 2 2 两边平方、整理,得8c-14ac+5a=0, 两边同时除以a,得8e-14e+5=0, 解得e=或e=(舍去). 2 2 (方法二)在△AF1B中,由面积公式可得8c-14ac+5a=0.(以下解法同解法一) 2 2 =(a-c)·b,将b2=a2-c2代入上式,整理得 B组 1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( ) A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20]
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